《2025年暑假Happy假日八年级理综》

20. 如图,四边形 ABCD,DEFG 都是正方形,连接 AE,CG.
(1)求证:$ AE = CG $;
(2)观察图形,猜想 AE 与 CG 之间的位置关系,并证明你的猜想.

(1) 证明：因为四边形$ABCD$，$DEFG$都是正方形，所以$AD = CD$，$DE = DG$，$\angle ADC=\angle EDG = 90^{\circ}$。$\angle ADC+\angle ADG=\angle EDG+\angle ADG$，即$\angle CDG=\angle ADE$。在$\triangle ADE$和$\triangle CDG$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADE=\angle CDG\\DE = DG\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CDG$。因为全等三角形的对应边相等，所以$AE = CG$。
(2) 猜想 AE 与 CG 之间的位置关系为$AE\perp CG$。证明：设$AE$与$CG$相交于点$N$，$AE$与$DG$相交于点$M$。由(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CDG$，所以$\angle DAE=\angle DCG$。又因为$\angle AMD=\angle CMN$（对顶角相等）。在$\triangle ADM$中，$\angle DAE+\angle AMD +\angle ADM=180^{\circ}$，在$\triangle CMN$中，$\angle DCG+\angle CMN+\angle CNM = 180^{\circ}$。因为$\angle ADM = 90^{\circ}$，所以$\angle CNM=\angle ADM = 90^{\circ}$，即$AE\perp CG$。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$，$DEFG$都是正方形，所以$AD = CD$，$DE = DG$，$\angle ADC=\angle EDG = 90^{\circ}$。
$\angle ADC+\angle ADG=\angle EDG+\angle ADG$，即$\angle CDG=\angle ADE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CDG$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADE=\angle CDG\\DE = DG\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CDG$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AE = CG$。
(2) 猜想$AE\perp CG$。
设$AE$与$CG$相交于点$N$，$AE$与$DG$相交于点$M$。
由
(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CDG$，所以$\angle DAE=\angle DCG$。
又因为$\angle AMD=\angle CMN$（对顶角相等）。
在$\triangle ADM$中，$\angle DAE+\angle AMD +\angle ADM=180^{\circ}$，在$\triangle CMN$中，$\angle DCG+\angle CMN+\angle CNM = 180^{\circ}$。
因为$\angle ADM = 90^{\circ}$，所以$\angle CNM=\angle ADM = 90^{\circ}$，即$AE\perp CG$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，证得$AE = CG$。
(2) $AE\perp CG$，证明见上述解析。

21. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 90^\circ $,点 D 为 AB 的中点,四边形 BCED 为平行四边形,DE,AC 相交于点 F,连接 DC,AE.
(1)判断四边形 ADCE 的形状,并说明理由;
四边形$ADCE$是菱形，理由：因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$CE// BD$，$CE = BD$。又因为点$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，则$CE// AD$，$CE = AD$，所以四边形$ADCE$是平行四边形。因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$中点，所以$CD = AD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），所以平行四边形$ADCE$是菱形。
(2)若 $ AB = 16 $,$ AC = 12 $,求四边形 ADCE 的面积;
$24\sqrt{7}$
(3)当$ \triangle ABC $满足什么条件时,四边形 ADCE 为正方形? 请给予证明.
当$ \triangle ABC $满足$AC = BC$时,四边形 ADCE 为正方形。证明：因为$AC = BC$，$D$是$AB$中点，所以$CD\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle ADC = 90^{\circ}$。又因为四边形$ADCE$是菱形，所以菱形$ADCE$是正方形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$CE// BD$，$CE = BD$。
又因为点$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，则$CE// AD$，$CE = AD$，所以四边形$ADCE$是平行四边形。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$中点，所以$CD = AD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），所以平行四边形$ADCE$是菱形。
(2) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 16$，$AC = 12$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{16^{2}-12^{2}}=\sqrt{256 - 144}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$DE = BC = 4\sqrt{7}$。
因为四边形$ADCE$是菱形，$AC\perp DE$，$AF=\frac{1}{2}AC = 6$，$DF=\frac{1}{2}DE = 2\sqrt{7}$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot DE$，所以$S_{ADCE}=\frac{1}{2}\times12\times4\sqrt{7}=24\sqrt{7}$。
(3) 当$AC = BC$时，四边形$ADCE$为正方形。
证明：因为$AC = BC$，$D$是$AB$中点，所以$CD\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因为四边形$ADCE$是菱形，所以菱形$ADCE$是正方形。
【答案】：
(1) 四边形$ADCE$是菱形，理由见上述解析。
(2) $24\sqrt{7}$。
(3) 当$AC = BC$时，四边形$ADCE$为正方形，证明见上述解析。