《2025年暑假Happy假日八年级理综》

22. (1)如图 1,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,过点 D 作 $ DP // OC $,且 $ DP = OC $,连接 CP,判断四边形 CODP 的形状并说明理由;
四边形CODP的形状是菱形。
(2)如果(1)中的矩形变为菱形(如图 2),其他条件不变,结论应变为什么? 说明理由;
结论应变为四边形CODP是矩形。
(3)如果(1)中的矩形变为正方形(如图 3),其他条件不变,结论又应变为什么? 说明理由.
结论又应变四边形CODP是正方形。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 判断四边形$CODP$的形状并说明理由
已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得$OC = OD$。
又因为$DP// OC$，$DP = OC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$CODP$是平行四边形。
再结合$OC = OD$，根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$CODP$是菱形。
### $(2)$ 矩形变为菱形时，判断四边形$CODP$的形状并说明理由
因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直。所以$\angle DOC = 90^{\circ}$。
由于$DP// OC$，$DP = OC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形$CODP$是平行四边形。
又因为$\angle DOC = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$CODP$是矩形。
### $(3)$ 矩形变为正方形时，判断四边形$CODP$的形状并说明理由
因为四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质：正方形的对角线相等、互相垂直且平分，所以$OC = OD$，$\angle DOC = 90^{\circ}$。
因为$DP// OC$，$DP = OC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形$CODP$是平行四边形。
由于$OC = OD$，根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形$CODP$是菱形。
又因为$\angle DOC = 90^{\circ}$，根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，所以菱形$CODP$是正方形。
【答案】：
$(1)$ 四边形$CODP$是**菱形**。理由：矩形$ABCD$中$OC = OD$，$DP// OC$且$DP = OC$，先得平行四边形$CODP$，再由$OC = OD$得菱形$CODP$。
$(2)$ 四边形$CODP$是**矩形**。理由：菱形$ABCD$中$\angle DOC = 90^{\circ}$，$DP// OC$且$DP = OC$，先得平行四边形$CODP$，再由$\angle DOC = 90^{\circ}$得矩形$CODP$。
$(3)$ 四边形$CODP$是**正方形**。理由：正方形$ABCD$中$OC = OD$，$\angle DOC = 90^{\circ}$，$DP// OC$且$DP = OC$，先得平行四边形$CODP$，再由$OC = OD$得菱形$CODP$，最后由$\angle DOC = 90^{\circ}$得正方形$CODP$。