《2025年暑假Happy假日八年级理综》

19. 我们约定:如果身高在选定标准的$\pm 2\%$范围之内都称为“普通身高”.为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量出他们的身高(单位:cm),并整理出如下统计表:
|男生序号|①|②|③|④|⑤|⑥|⑦|⑧|⑨|⑩|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|身高x/cm|163|171|173|159|161|174|164|166|169|164|
根据表格信息,解答如下问题.
(1)计算这组数据的三个统计量:平均数、中位数和众数;
(2)请你选择其中一个统计量作为选定标准,找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生? 并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)
**计算平均数**：
平均数$\overline{x}=\frac{1}{n}(x_{1} + x_{2}+\cdots+x_{n})$，这里$n = 10$，$x_{1}=163$，$x_{2}=171$，$\cdots$，$x_{10}=164$。
$\overline{x}=\frac{163 + 171+173+159+161+174+164+166+169+164}{10}$
$=\frac{1664}{10}=166.4$（$cm$）。
**计算中位数**：
将这组数据从小到大排列为：$159$，$161$，$163$，$164$，$164$，$166$，$169$，$171$，$173$，$174$。
因为$n = 10$是偶数，所以中位数$M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})$，即$M=\frac{164 + 166}{2}=165$（$cm$）。
**计算众数**：
在这组数据中$164$出现了$2$次，出现的次数最多，所以众数是$164cm$。
(2)
**选平均数作为标准**：
$166.4\times(1 - 2\%)=166.4\times0.98 = 163.072$（$cm$），
$166.4\times(1 + 2\%)=166.4\times1.02 = 169.728$（$cm$）。
身高$x$满足$163.072\leqslant x\leqslant169.728$的男生有①$163cm$、⑦$164cm$、⑧$166cm$、⑨$169cm$、⑩$164cm$，共$5$位男生具有“普通身高”。
**选中位数作为标准**：
$165\times(1 - 2\%)=165\times0.98 = 161.7$（$cm$），
$165\times(1 + 2\%)=165\times1.02 = 168.3$（$cm$）。
身高$x$满足$161.7\leqslant x\leqslant168.3$的男生有①$163cm$、⑤$161cm$、⑦$164cm$、⑧$166cm$、⑨$169cm$、⑩$164cm$，共$6$位男生具有“普通身高”。
**选众数作为标准**：
$164\times(1 - 2\%)=164\times0.98 = 160.72$（$cm$），
$164\times(1 + 2\%)=164\times1.02 = 167.28$（$cm$）。
身高$x$满足$160.72\leqslant x\leqslant167.28$的男生有①$163cm$、⑤$161cm$、⑦$164cm$、⑧$166cm$、⑩$164cm$，共$5$位男生具有“普通身高”。
【答案】：
(1)平均数为$166.4cm$，中位数为$165cm$，众数为$164cm$。
(2)选平均数作为标准时，具有“普通身高”的是①⑦⑧⑨⑩号男生；选中位数作为标准时，具有“普通身高”的是①⑤⑦⑧⑨⑩号男生；选众数作为标准时，具有“普通身高”的是①⑤⑦⑧⑩号男生。理由见上述解析。