《2025年暑假Happy假日八年级理综》

17. 在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象经过点$(4,3)$,$(-2,0)$,且与$y$轴交于点$A$.
(1)求该函数的解析式及点$A$的坐标;函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$，点$A$的坐标为$(0,1)$
(2)当$x ＞ 0$时,对于$x$的每一个值,函数$y = x + n$的值大于函数$y = kx + b(k \neq 0)$的值,直接写出$n$的取值范围.$n\geqslant1$

答案： $(1)$求函数解析式及点$A$的坐标
- **步骤一：求函数$y = kx + b$的解析式
已知函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$(4,3)$，$( - 2,0)$，将这两点代入函数解析式可得方程组$\begin{cases}4k + b = 3\\-2k + b = 0\end{cases}$。
用第一个方程$4k + b = 3$减去第二个方程$-2k + b = 0$消去$b$：
$\begin{aligned}(4k + b)-(-2k + b)&=3 - 0\\4k + b + 2k - b&=3\\6k&=3\\k&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
把$k = \frac{1}{2}$代入$-2k + b = 0$，可得$-2\times\frac{1}{2}+b = 0$，即$-1 + b = 0$，解得$b = 1$。
所以函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$。
- **步骤二：求点$A$的坐标
因为函数$y=\frac{1}{2}x + 1$与$y$轴交于点$A$，在$y$轴上$x = 0$，把$x = 0$代入$y=\frac{1}{2}x + 1$得$y = 1$，所以点$A$的坐标为$(0,1)$。
$(2)$求$n$的取值范围
当$x\gt0$时，$y = x + n$的值大于$y=\frac{1}{2}x + 1$的值，即$x + n\gt\frac{1}{2}x + 1$，移项可得$n\gt\frac{1}{2}x + 1 - x=1-\frac{1}{2}x$。
因为$x\gt0$，那么$-\frac{1}{2}x\lt0$，所以$1-\frac{1}{2}x\lt1$，要使$n\gt1-\frac{1}{2}x$恒成立，则$n\geqslant1$。
综上，答案依次为：$(1)$函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x + 1}$，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(0,1)}$；$(2)$$\boldsymbol{n\geqslant1}$。

18. 如图,直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0)$,$B(-1,4)$,与$y$轴交于点$D$. 直线$CE:y = -2x - 4$与直线$AB$交于点$C$,与$y$轴交于点$E$.
(1)求点$D$的坐标;(0,5)
(2)求直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积;$\frac{27}{2}$
(3)根据图象,直接写出关于$x$的不等式$kx + b ＞ -2x - 4$的解集.$x\gt - 3$

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$D$的坐标
已知直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0)$，$B(-1,4)$，将这两点代入直线方程可得方程组$\begin{cases}-5k + b = 0 \\ -k + b = 4 \end{cases}$。
用第二个方程$-k + b = 4$减去第一个方程$-5k + b = 0$，即$(-k + b)-(-5k + b)=4 - 0$，
去括号得$-k + b + 5k - b = 4$，
合并同类项得$4k = 4$，解得$k = 1$。
把$k = 1$代入$-k + b = 4$，得$-1 + b = 4$，解得$b = 5$。
所以直线$AB$的解析式为$y = x + 5$。
令$x = 0$，则$y = 0 + 5 = 5$，所以点$D$的坐标为$(0,5)$。
### $(2)$求直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积
联立直线$AB$与直线$CE$的方程$\begin{cases}y = x + 5 \\ y = -2x - 4 \end{cases}$，
即$x + 5 = -2x - 4$，
移项得$x + 2x = -4 - 5$，
合并同类项得$3x = -9$，解得$x = -3$。
把$x = -3$代入$y = x + 5$，得$y = -3 + 5 = 2$，所以点$C$的坐标为$(-3,2)$。
对于直线$y = -2x - 4$，令$x = 0$，则$y = -4$，所以点$E$的坐标为$(0,-4)$。
那么$DE=5 - (-4)=9$。
直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成的图形为$\triangle CDE$，点$C$到$y$轴的距离$h=\vert - 3\vert = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，这里底为$DE$，高为点$C$到$y$轴的距离，所以$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}\times DE\times\vert x_{C}\vert=\frac{1}{2}\times9\times3=\frac{27}{2}$。
### $(3)$求不等式$kx + b\gt -2x - 4$的解集
不等式$kx + b\gt -2x - 4$的解集，就是直线$y = kx + b$的图象在直线$y = -2x - 4$图象上方时$x$的取值范围。
由图象可知，当$x\gt - 3$时，直线$y = x + 5$（即$y = kx + b$，$k = 1$，$b = 5$）在直线$y = -2x - 4$的上方。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{(0,5)}$；
$(2)$$\boldsymbol{\frac{27}{2}}$；
$(3)$$\boldsymbol{x\gt - 3}$。