《2025年暑假衔接起跑线小升初数学》

【例 2】一个底面直径是 30 cm 的圆柱形无盖铁皮水桶装有水,把一个底面半径是 10 cm,高 27 cm 的圆锥形铝锭放入水桶时,水溢出,捞起铝锭,水下降了$\frac{1}{8}$。
(1)求这时水的深度。
(2)做这个水桶要用铁皮多少?(得数保留整平方分米)

答案： 分析:此题主要涉及圆柱、圆锥的体积及圆柱的表面积方面的知识,重在考查学生用转换、替换的思想解决实际问题的能力。“水溢出”应想到圆锥放入桶中后,水已满,捞起圆锥后,水下降部分的体积就是圆锥的体积。计算时分四步进行:
(1)求圆锥的体积;
(2)圆柱形水桶的容积;
(3)已知桶的容积求桶深;
(4)求水桶的表面积。
解答:
(1)$V_{锥} = \frac{1}{3}×3.14×10×10×27 = 2826(cm^{3})$
水桶容积:$2826÷\frac{1}{8} = 22608(cm^{3})$
水桶深:$22608÷[3.14×(\frac{30}{2})^{2}] = 22608÷706.5 = 32(cm)$
水深:$32×(1 - \frac{1}{8}) = 28(cm)$
(2)做这个桶要用铁皮:$30×3.14×32 + (\frac{30}{2})^{2}×3.14$
$= 3.14×(30×32 + 225)$
$= 3.14×(960 + 225)$
$= 3.14×1185$
$= 3720.9(cm^{2})$
$\approx 38(dm^{2})$(进一法)
答:水深 28 cm,做这个水桶要用铁皮约$38dm^{2}$。

【例 3】下图是一个棱长为 2 cm 的正方体,在正方体上表面的正中间,向下挖一个棱长为 1 cm 的正方体小洞,接着在小洞的底面正中间向下挖一个棱长为$\frac{1}{2}cm$的正方体小洞,第三个正方体小洞的挖法和前两个相同,棱长为$\frac{1}{4}cm$,那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
答:最后得到的立体图形的表面积是$29\frac{1}{4}$$cm^{2}$。

答案： 分析:如图所示,从上往下看,3 个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积,若将它们均补到上面,那么大正方体的表面积就相当于没有发生变化,这样就只增加了 3 个小正方体的各自的侧面积;计算出原表面积再加上增加的 3 个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积。
解答:原正方体的表面积:$2×2×6 = 24(cm^{2})$
增加的面积:$1×1×4 + \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4 + \frac{1}{4}×\frac{1}{4}×4 = 5\frac{1}{4}(cm^{2})$
总表面积:$24 + 5\frac{1}{4} = 29\frac{1}{4}(cm^{2})$
答:最后得到的立体图形的表面积是$29\frac{1}{4}cm^{2}$。