《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（B）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 两组对边平行且相等
D. 两组对角相等

答案： B

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BC = 20cm$，点$P$在$BC$边上从点$B$开始以$2cm/s$的速度向点$C$运动，过点$P$作$PE// AC$交$AB$于点$E$，$PF// AB$交$AC$于点$F$. 请问四边形$AEPF$是否可能为菱形？若可能，是什么时刻？若不可能，请说明理由.

四边形$AEPF$可能为菱形，在5s时。

答案： 【解析】：
因为$PE// AC$，$PF// AB$，所以四边形$AEPF$是平行四边形。
若四边形$AEPF$是菱形，则$AE = EP$。
因为$PE// AC$，所以$\angle EPB=\angle C$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$，则$\angle EPB=\angle B$，所以$BE = EP$，即$AE = BE$。
设运动时间为$t$秒，$BP = 2t$。
因为$AE = BE$，$PE// AC$，所以$BP = PC$。
已知$BC = 20cm$，则$2t=20\div2$，即$2t = 10$，解得$t = 5$。
【答案】：四边形$AEPF$可能为菱形，在$5s$时。

2. 如图，已知在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$的中线，$E$是边$BC$延长线上一点，连接$AE$，$DE$，过点$C$作$CF⊥DE$于点$F$，且$DF = EF$.
(1)求证：$AD = CE$.
(2)若$AD = 5$，$AC = 6$，求$\triangle BDE$的面积.$\frac{39}{2}$

答案： 【解析】：
### （1）证明$AD = CE$
- 因为$CF\perp DE$且$DF = EF$，根据线段垂直平分线的性质，可知$CD = CE$。
- 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD = AD$。
- 所以$AD = CE$。
### （2）求$\triangle BDE$的面积
已知$AD = 5$，由（1）知$CD = AD = CE = 5$，所以$AB = 2AD = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 6$，$AB = 10$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
所以$BE=BC + CE=8 + 5=13$。
过$D$作$DH\perp BC$于$H$。
因为$D$是$AB$中点，$DH// AC$（$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DH\perp BC$），根据中位线定理，可得$DH=\frac{1}{2}AC$，$CH=\frac{1}{2}BC$。
所以$DH=\frac{1}{2}\times6 = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle BDE$的面积$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}\times BE\times DH=\frac{1}{2}\times13\times3=\frac{39}{2}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$AD = CE$。
(2) $\triangle BDE$的面积为$\boldsymbol{\frac{39}{2}}$。

3. 如图，在正方形$ABCD$外有一点$P$，$AP = AD$，$∠PAD = 40^{\circ}$，求$∠PBC$与$∠BPD$的度数.

$∠PBC=$$65^{\circ}$，$∠BPD=$$45^{\circ}$

答案： $\angle PBC = 65^{\circ}$，$\angle BPD = 45^{\circ}$