《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

4. 使分式$\frac {17}{x+2}=\frac {17x}{x^{2}+2x}$自左至右变形成立的条件是（C）
A. $x＜0$
B. $x＞0$
C. $x≠0$
D. $x≠0$或$x≠17$

答案： C

1. 当$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}=3$时,求$\frac {2x+3xy-2y}{x-2xy-y}$的值.

答案： 【解析】：
本题可先对已知条件$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形，然后将所求式子$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行变形，最后将变形后的已知条件代入变形后的所求式子进行计算。
- **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行通分，可得$\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$。
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，则$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，那么$x - y = -3xy$。
- **步骤二：对$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行变形**
将分子$2x + 3xy - 2y$变形为$2(x - y) + 3xy$，分母$x - 2xy - y$变形为$(x - y) - 2xy$，则原式可化为$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$。
- **步骤三：将$x - y = -3xy$代入$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$进行计算**
把$x - y = -3xy$代入$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$可得：
$\frac{2\times(-3xy) + 3xy}{-3xy - 2xy}=\frac{-6xy + 3xy}{-5xy}=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$
【答案】：$\frac{3}{5}$

2. 求代数式$\frac {x^{4}-y^{4}}{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}}$的值,其中$x=2002,y=2001$.
1

答案： 【解析】：本题可先对分子分母分别进行因式分解，再化简代数式，最后将$x$、$y$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：对分子$x^4 - y^4$进行因式分解**
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对$x^4 - y^4$进行因式分解：
$x^4 - y^4=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)=(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
- **步骤二：对分母$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3$进行因式分解**
可采用分组分解法，将前两项和后两项分别组合：
$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3=(x^3 + x^2y)+(xy^2 + y^3)$
提取公因式可得：
$x^2(x + y)+y^2(x + y)=(x + y)(x^2 + y^2)$
- **步骤三：化简原式**
将分子分母因式分解的结果代入原式可得：
$\frac{x^4 - y^4}{x^3 + x^2y + xy^2 + y^3}=\frac{(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)}{(x + y)(x^2 + y^2)}$
约去公因式$(x + y)(x^2 + y^2)$，得到化简结果为$x - y$。
- **步骤四：代入$x$、$y$的值求值**
将$x = 2002$，$y = 2001$代入$x - y$可得：
$2002 - 2001 = 1$
【答案】：$1$