《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

1. 如图，在矩形$ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O$，$BE\perp AC$于点$E$，$CF\perp BD$于点$F$。求证：$BE = CF$。

证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，得$OB = OC$。
又$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，所以$\angle BEO=\angle CFO = 90^{\circ}$。
在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle BOE=\angle COF\\\angle BEO=\angle CFO\\OB = OC\end{cases}$，所以$\triangle BOE\cong\triangle COF$AAS，则$BE = CF$。

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，所以$AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，则$OB = OC$。
又因为$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，所以$\angle BEO=\angle CFO = 90^{\circ}$。
在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，$\angle BOE=\angle COF$（对顶角相等），$\angle BEO=\angle CFO$，$OB = OC$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可证$\triangle BOE\cong\triangle COF$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$BE = CF$。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，得$OB = OC$。
又$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，所以$\angle BEO=\angle CFO = 90^{\circ}$。
在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle BOE=\angle COF\\\angle BEO=\angle CFO\\OB = OC\end{cases}$，所以$\triangle BOE\cong\triangle COF(AAS)$，则$BE = CF$。

2. 如图，已知$AB = AC$，$AD = AE$，$DE = BC$，$\angle BAD=\angle CAE$。求证：四边形$BCED$为矩形。


证明：先由$SAS$证$\triangle BAD\cong\triangle CAE$得$BD = CE$，再由$DE = BC$证四边形$BCED$是平行四边形，最后证$\angle DBC = 90^{\circ}$，从而得四边形$BCED$为矩形。

答案： 【解析】：
- 首先证明$\triangle BAD\cong\triangle CAE$：
已知$\angle BAD = \angle CAE$，$AB = AC$，$AD = AE$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。
- 然后证明四边形$BCED$是平行四边形：
因为$DE = BC$，$BD = CE$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$BCED$是平行四边形。
- 最后证明平行四边形$BCED$是矩形：
设$\angle BAD=\angle CAE=\alpha$，因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
$\angle DBC=\angle ABC + \angle ABD$，$\angle ECB=\angle ACB+\angle ACE$，又因为$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$\angle ABD=\angle ACE$，则$\angle DBC=\angle ECB$。
因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$DB// EC$，那么$\angle DBC+\angle ECB = 180^{\circ}$，所以$\angle DBC=\angle ECB = 90^{\circ}$。
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以平行四边形$BCED$是矩形。
【答案】：
先由$SAS$证$\triangle BAD\cong\triangle CAE$得$BD = CE$，再由$DE = BC$证四边形$BCED$是平行四边形，最后证$\angle DBC = 90^{\circ}$，从而得四边形$BCED$为矩形。

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$DE$垂直平分$BC$，垂足为点$D$，交$AB$于点$E$，又点$F$在$DE$的延长线上，且$AF = CE$，求证：四边形$ACEF$是菱形。

答案： 【解析】：
- 因为$DE$垂直平分$BC$，所以$BE = CE$，$\angle B = \angle BCE$。
- 已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，则$\angle B = 180^{\circ}-\angle ACB - \angle BAC = 180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，所以$\angle BCE = 30^{\circ}$，$\angle ACE = \angle ACB-\angle BCE = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
- 又因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\triangle ACE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AC = CE = AE$。
- 因为$DE\perp BC$，$AC\perp BC$，所以$DE// AC$，则$\angle AEF=\angle BAC = 60^{\circ}$。
- 又因为$AF = CE$，$CE = AE$，所以$AF = AE$，那么$\triangle AEF$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$AF = EF = AE$。
- 因为$AC = CE = AE$，$AF = EF = AE$，所以$AC = CE = EF = AF$。
【答案】：
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，因为$AC = CE = EF = AF$，所以四边形$ACEF$是菱形。