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2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版
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4. 已知$x^{2}+3x+1=0$，求①$x+\frac {1}{x}$，②$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}+2x+\frac {2}{x}$的值.
答案：
【解析】：1. 对于①，已知$x^{2}+3x + 1 = 0$，因为$x = 0$时，方程左边$=0^{2}+3\times0 + 1=1\neq0$，所以$x\neq0$。方程两边同时除以$x$，得到$x + 3+\frac{1}{x}=0$，移项可得$x+\frac{1}{x}=-3$。
2. 对于②，先根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，对$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$进行变形，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2$，由①知$x+\frac{1}{x}=-3$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(-3)^{2}-2=9 - 2 = 7$。又因为$x+\frac{1}{x}=-3$，所以$2x+\frac{2}{x}=2(x+\frac{1}{x})=2\times(-3)=-6$。那么$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2x+\frac{2}{x}=7+(-6)=1$。
【答案】：1. $-3$ 2. $1$
2. 对于②，先根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，对$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$进行变形，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2$，由①知$x+\frac{1}{x}=-3$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(-3)^{2}-2=9 - 2 = 7$。又因为$x+\frac{1}{x}=-3$，所以$2x+\frac{2}{x}=2(x+\frac{1}{x})=2\times(-3)=-6$。那么$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2x+\frac{2}{x}=7+(-6)=1$。
【答案】：1. $-3$ 2. $1$
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