《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

3. 解分式方程$\frac {2}{x+1}+\frac {3}{x-1}=\frac {6}{x^{2}-1}$分以下四步，其中错误的一步是（D）
A. 方程两边分式的最简公分母是$(x-1)(x+1)$
B. 方程两边都乘$(x-1)(x+1)$，得整式方程$2(x-1)+3(x+1)=6$
C. 解方程$2(x-1)+3(x+1)=6$，得$x=1$
D. 原方程的解为$x=1$

答案： D

1. 解下列方程（组）：
(1)$\frac {2}{x+1}+\frac {3}{x-1}=\frac {6}{x^{2}-1}$；无解
(2)$\left\{\begin{array}{l} \frac {6}{x}+\frac {6}{y}=\frac {1}{2},\\ \frac {8}{x}-\frac {3}{y}=\frac {3}{10}.\end{array}\right.$$\begin{cases}x = 20 \\ y = 30 \end{cases}$

答案： 【解析】：1. 对于方程$\frac {2}{x + 1} + \frac {3}{x - 1} = \frac {6}{x^2 - 1}$，
首先，方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$（$x\neq\pm1$）去分母得：$2(x - 1) + 3(x + 1) = 6$。
然后，去括号得：$2x - 2 + 3x + 3 = 6$。
接着，移项、合并同类项得：$5x = 5$。
最后，系数化为$1$得：$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
2. 对于方程组$\begin{cases}\frac {6}{x} + \frac {6}{y} = \frac {1}{2} \\ \frac {8}{x} - \frac {3}{y} = \frac {3}{10} \end{cases}$，
设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，则原方程组可化为$\begin{cases}6a + 6b = \frac{1}{2} ①\\ 8a - 3b = \frac{3}{10} ②\end{cases}$。
由$②\times2$得：$16a - 6b = \frac{3}{5} ③$。
$① + ③$得：$6a + 16a = \frac{1}{2} + \frac{3}{5}$，即$22a = \frac{5 + 6}{10}=\frac{11}{10}$，解得$a = \frac{1}{20}$。
把$a = \frac{1}{20}$代入$①$得：$6\times\frac{1}{20} + 6b = \frac{1}{2}$，$\frac{3}{10} + 6b = \frac{1}{2}$，$6b = \frac{1}{2} - \frac{3}{10}=\frac{5 - 3}{10}=\frac{1}{5}$，解得$b = \frac{1}{30}$。
因为$\frac{1}{x}=a = \frac{1}{20}$，所以$x = 20$；因为$\frac{1}{y}=b = \frac{1}{30}$，所以$y = 30$。
经检验，$\begin{cases}x = 20 \\ y = 30 \end{cases}$是原方程组的解。
【答案】：1. 无解 2. $\begin{cases}x = 20 \\ y = 30 \end{cases}$

2. k取何值时，分式方程$\frac {6}{x-1}=\frac {x+k}{x(x-1)}-\frac {3}{x}$有根？

答案： 【解析】：
本题可先将分式方程化为整式方程，再结合分式方程有根的条件来确定$k$的取值范围。
- **步骤一：将分式方程化为整式方程**
给方程$\frac {6}{x - 1} = \frac {x + k}{x(x - 1)} - \frac {3}{x}$两边同时乘以$x(x - 1)$（$x\neq0$且$x\neq1$）去分母得：
$6x = x + k - 3(x - 1)$
去括号得：$6x = x + k - 3x + 3$
移项、合并同类项得：$6x - x + 3x = k + 3$，即$8x = k + 3$
系数化为$1$得：$x = \frac{k + 3}{8}$
- **步骤二：根据分式方程有根的条件确定$k$的取值范围**
因为原分式方程有根，所以$x\neq0$且$x\neq1$。
当$x\neq0$时，即$\frac{k + 3}{8} \neq 0$，两边同时乘以$8$得$k + 3 \neq 0$，解得$k \neq - 3$。
当$x\neq1$时，即$\frac{k + 3}{8} \neq 1$，两边同时乘以$8$得$k + 3 \neq 8$，解得$k \neq 5$。
综上，当$k \neq - 3$且$k \neq 5$时，原分式方程有根。
【答案】：$k \neq - 3$且$k \neq 5$