《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

6. 若直线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x - 3 $ 与直线 $ y = 3x + b $ 都经过 $ y $ 轴上的同一点，则 $ b $ 的值为 （C）
A. 3
B. $ \frac { 1 } { 2 } $
C. $ - 3 $
D. $ - \frac { 1 } { 2 } $

答案： C

二、作图题
某油箱存油 $ 60 \mathrm { m } ^ { 3 } $，每小时耗油 $ 8 \mathrm { m } ^ { 3 } $，写出油箱中剩余油量 $ Q ( \mathrm { m } ^ { 3 } ) $ 与用油时间 $ t ( \mathrm { h } ) $ 之间的函数表达式，并画出函数图象.

答案： 【解析】：本题可先根据剩余油量与总油量、耗油量的关系列出函数表达式，再根据实际情况确定自变量的取值范围，最后根据函数表达式和自变量取值范围来画函数图象。
- **步骤一：求函数表达式**
已知油箱存油$60m^3$，每小时耗油$8m^3$，用油时间为$t$小时，则$t$小时的耗油量为$8t m^3$。
因为剩余油量$=$总油量$-$耗油量，所以油箱中剩余油量$Q$与用油时间$t$之间的函数表达式为$Q = 60 - 8t$。
- **步骤二：确定自变量$t$的取值范围**
由于剩余油量$Q\geqslant0$，即$60 - 8t\geqslant0$，解不等式可得：
$60 - 8t\geqslant0$
$-8t\geqslant -60$
$t\leqslant \frac{60}{8} = 7.5$
又因为时间$t\geqslant0$，所以自变量$t$的取值范围是$0\leqslant t\leqslant 7.5$。
- **步骤三：画函数图象**
函数$Q = 60 - 8t$是一次函数，其图象是一条直线。
在$0\leqslant t\leqslant 7.5$这个范围内取两个点：
当$t = 0$时，$Q = 60 - 8\times0 = 60$，得到点$(0, 60)$；
当$t = 7.5$时，$Q = 60 - 8\times7.5 = 0$，得到点$(7.5, 0)$。
在平面直角坐标系中，描出点$(0, 60)$和点$(7.5, 0)$，然后连接这两点，就得到了函数$Q = 60 - 8t(0\leqslant t\leqslant 7.5)$的图象。
【答案】：函数表达式为$Q = 60 - 8t(0\leqslant t\leqslant 7.5)$，图象是连接点$(0, 60)$和点$(7.5, 0)$的线段。

1. 已知正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A ( k, 2k ) $.
（1）求 $ k $ 的值；2
（2）若点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，且 $ AB = AO $，求直线 $ AB $ 的表达式.$y=-2x + 8$

答案： 【解析】：
（1）因为正比例函数$y = kx$的图象经过点$A(k,2k)$，将点$A(k,2k)$代入$y = kx$中，可得$2k=k\times k$，即$k^{2}-2k = 0$，因式分解得$k(k - 2)=0$，解得$k = 0$或$k = 2$。
又因为正比例函数$y = kx$中$k\neq0$，所以$k = 2$。
（2）由（1）可知$k = 2$，则点$A$的坐标为$(2,4)$。
设点$O$为坐标原点$(0,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，可得$AO=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(4 - 0)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为点$B$在$x$轴上，设$B(x,0)$，又因为$AB = AO = 2\sqrt{5}$，根据两点间距离公式可得$\sqrt{(x - 2)^{2}+(0 - 4)^{2}}=2\sqrt{5}$，即$(x - 2)^{2}+16 = 20$，$(x - 2)^{2}=4$，则$x - 2=\pm2$。
当$x - 2 = 2$时，$x = 4$；当$x - 2=-2$时，$x = 0$。
所以点$B$的坐标为$(4,0)$或$(0,0)$（$B$与$O$重合时舍去）。
设直线$AB$的表达式为$y=mx + n$，把$A(2,4)$，$B(4,0)$代入$y=mx + n$中，可得$\begin{cases}2m + n = 4\\4m + n = 0\end{cases}$，用$4m + n = 0$减去$2m + n = 4$得：$4m + n-(2m + n)=0 - 4$，$4m + n - 2m - n=-4$，$2m=-4$，$m=-2$。
把$m = - 2$代入$2m + n = 4$得：$-4 + n = 4$，$n = 8$。
所以直线$AB$的表达式为$y=-2x + 8$。
【答案】：（1）$k = 2$；（2）$y=-2x + 8$

2. 已知一次函数 $ y = mx - m + 2 $，求：
（1）当 $ m $ 为何值时，它的图象过原点？
（2）当 $ m $ 为何值时，它的图象过 $ ( 0, 5 ) $？

答案： 【解析】：1. 对于一次函数$y = mx - m + 2$，若图象过原点$(0,0)$，把$x = 0$，$y = 0$代入函数可得：$0 = m\times0 - m + 2$，即$-m + 2 = 0$，移项可得$m = 2$。
2. 若图象过点$(0,5)$，把$x = 0$，$y = 5$代入函数$y = mx - m + 2$中，得到$5 = m\times0 - m + 2$，即$-m + 2 = 5$，移项可得$-m = 5 - 2 = 3$，解得$m = - 3$。
【答案】：1. $m = 2$ 2. $m = - 3$

3. 已知 $ S = 1 + 2 ^ { - 1 } + 2 ^ { - 2 } + 2 ^ { - 3 } + \cdots + 2 ^ { - 2016 } $，请你计算右边的算式求出 $ S $ 的值.

答案： 等式可变形为 $ S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{2016}} $， ①
①式两边都乘 2 得 $ 2S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{2015}} $， ②
② - ①得 $ S = 2 - \frac{1}{2^{2016}} $。