《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

2. 如图，$AD$ 为 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC$ 的平分线，作 $DE// AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，作 $EF// BC$ 交 $AC$ 于点 $F$，证明：$AE = CF$.

证明：
- 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle 2=\angle 3$。
- 又因为$DE// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle 1=\angle 2$。
- 所以$\angle 1=\angle 3$，根据“等角对等边”，则$AE = DE$。
- 因为$DE// AC$，$EF// BC$，所以四边形$DEFC$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
- 根据“平行四边形的对边相等”，可得$DE = CF$。
- 又因为$AE = DE$，所以$AE = CF$。
故$AE = CF$

答案： 【解析】：
- 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle 2=\angle 3$。
- 又因为$DE// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle 1=\angle 2$。
- 所以$\angle 1=\angle 3$，根据“等角对等边”，则$AE = DE$。
- 因为$DE// AC$，$EF// BC$，所以四边形$DEFC$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
- 根据“平行四边形的对边相等”，可得$DE = CF$。
- 又因为$AE = DE$，所以$AE = CF$。
【答案】：$AE = CF$

3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE\perp BC$ 于点 $E$，$AF\perp DC$ 的延长线于点 $F$，$\angle EAF = 30^{\circ}$，$AE = 1.5\mathrm{cm}$，$AF = 3\mathrm{cm}$，求 $AB$ 和 $BC$ 的长，以及 $□ ABCD$ 的面积.

$ AB = $3$\mathrm{cm}$，$ BC = $6$\mathrm{cm}$，$ S_{□ ABCD} = $9$\mathrm{cm}^{2} $。

答案： $ AB = 3 \mathrm{cm} $，$ BC = 6 \mathrm{cm} $，$ S_{\square ABCD} = 9 \mathrm{cm}^{2} $。