《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

3. 如图是一根蜡烛在凸透镜下成像的实验，已知物距$u=24cm$，像距$v=12cm$，焦距$f=6cm$，要想在屏上成清楚的像，$u$、$v$、$f$必须满足关系式：$\frac {1}{u}+\frac {1}{v}=\frac {1}{f}$.
（1）此时屏上的像是否清楚？
当$u=24$，$v=12$时，$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1}{8}\neq\frac{1}{6}$，所以屏上的像不清楚.
（2）若凸透镜不动，怎样调整物距或像距才能使所成的像变得清楚？
要使像清楚，可以将屏向左移动4cm或将蜡烛向右移动12cm.

答案： （1）当$u=24$，$v=12$时，$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1}{8}\neq\frac{1}{6}$，所以屏上的像不清楚.
（2）方法1：应将屏向左移动$x$cm.由$\frac{1}{24}+\frac{1}{12-x}=\frac{1}{6}$，得$x=4$.
方法2：应将蜡烛向右移动$x$cm.由$\frac{1}{24-x}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$，得$x=12$，所以要使像清楚，可以将屏向左移动4cm或将蜡烛向右移动12cm.

熔炼合金
从两块质量分别为10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下质量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分加在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等.切下的质量是6千克？
解法一：设切下的质量为$x$千克，又设两块合金含铜的百分比分别为$a$和$b$，且$a≠b$，根据题意可得
$\frac {a(10-x)+bx}{10}=\frac {b(15-x)+ax}{15}$，
消去$a$、$b$，可解得$x=6$，答略.
解法二：假设两块合金各切下$x$千克的一块后互换，且暂不熔炼，则可得
$\frac {10-x}{x}=\frac {x}{15-x}$或$\frac {10-x}{10}=\frac {x}{15}$或$\frac {x}{10}=\frac {15-x}{15}$.
从这三个方程出发，都解得$x=6$，答略.

答案： 【解析】：
### 解法一
设切下的质量为$x$千克，两块合金含铜的百分比分别为$a$和$b$（$a\neq b$）。
第一块合金切下$x$千克后，剩余$(10 - x)$千克，含铜量为$a(10 - x)$千克，加入从第二块切下的$x$千克（含铜量为$bx$千克），则混合后这块合金总质量为$10$千克，含铜量为$a(10 - x)+bx$千克，那么其含铜百分比为$\frac{a(10 - x)+bx}{10}$。
第二块合金切下$x$千克后，剩余$(15 - x)$千克，含铜量为$b(15 - x)$千克，加入从第一块切下的$x$千克（含铜量为$ax$千克），则混合后这块合金总质量为$15$千克，含铜量为$b(15 - x)+ax$千克，那么其含铜百分比为$\frac{b(15 - x)+ax}{15}$。
因为熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，所以$\frac{a(10 - x)+bx}{10}=\frac{b(15 - x)+ax}{15}$。
对等式进行化简：
$\begin{aligned}15\times(a(10 - x)+bx)&=10\times(b(15 - x)+ax)\\150a-15ax + 15bx&=150b-10bx+10ax\\150a-150b&=25ax - 25bx\\150(a - b)&=25x(a - b)\end{aligned}$
因为$a\neq b$，即$a - b\neq0$，两边同时除以$(a - b)$，可得$25x = 150$，解得$x = 6$。
### 解法二
假设两块合金各切下$x$千克的一块后互换，且暂不熔炼。
- **从$\frac{10 - x}{x}=\frac{x}{15 - x}$分析**：
由于熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，那么交换后两块合金中未交换部分与交换部分的比例是相等的。第一块合金未交换部分质量为$10 - x$千克，交换部分质量为$x$千克；第二块合金未交换部分质量为$15 - x$千克，交换部分质量为$x$千克，所以$\frac{10 - x}{x}=\frac{x}{15 - x}$。
交叉相乘可得$(10 - x)(15 - x)=x^2$，展开式子$150-10x-15x+x^2=x^2$，移项化简得$25x = 150$，解得$x = 6$。
- **从$\frac{10 - x}{10}=\frac{x}{15}$分析**：
第一块合金中未交换部分占第一块合金总质量的比例$\frac{10 - x}{10}$，应该等于第二块合金中交换部分占第二块合金总质量的比例$\frac{x}{15}$。
交叉相乘可得$15\times(10 - x)=10x$，展开式子$150-15x = 10x$，移项得$25x = 150$，解得$x = 6$。
- **从$\frac{x}{10}=\frac{15 - x}{15}$分析**：
第一块合金中交换部分占第一块合金总质量的比例$\frac{x}{10}$，应该等于第二块合金中未交换部分占第二块合金总质量的比例$\frac{15 - x}{15}$。
交叉相乘可得$15x = 10\times(15 - x)$，展开式子$15x = 150-10x$，移项得$25x = 150$，解得$x = 6$。
【答案】：$6$千克