《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

二、解方程
1. $\frac {x}{2x-5}-1=\frac {5}{5-2x}$. $x = 10$
2. $\frac {3}{x}+\frac {6}{x-1}-\frac {x+5}{x^{2}-x}=0$. 无解

答案： 【解析】：本题可先将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验所得的根是否为增根。- **步骤一：将分式方程化为整式方程**方程$\frac {x}{2x - 5} - 1 = \frac {5}{5 - 2x}$中，$5 - 2x=-(2x - 5)$，则原方程可化为$\frac {x}{2x - 5} - 1 = -\frac {5}{2x - 5}$。方程两边同时乘以$2x - 5$去分母得：$x - (2x - 5) = -5$。- **步骤二：求解整式方程**去括号得：$x - 2x + 5 = -5$。移项得：$x - 2x = -5 - 5$。合并同类项得：$-x = -10$。系数化为$1$得：$x = 10$。- **步骤三：检验根的有效性**把$x = 10$代入$2x - 5 = 2\times10 - 5 = 15\neq 0$，所以$x = 10$是原分式方程的根。【答案】：$x = 10$
@@【解析】：本题可先将方程两边同乘最简公分母化为整式方程，再求解整式方程，最后检验所得的根是否为增根。- **步骤一：确定方程的最简公分母**对$x^2 - x$因式分解可得$x^2 - x = x(x - 1)$，所以原方程$\frac {3}{x}+\frac {6}{x - 1}-\frac {x + 5}{x^2 - x}=0$的最简公分母为$x(x - 1)$。- **步骤二：方程两边同乘最简公分母化为整式方程**方程两边同时乘以$x(x - 1)$得：$3(x - 1) + 6x - (x + 5) = 0$- **步骤三：求解整式方程**去括号得：$3x - 3 + 6x - x - 5 = 0$合并同类项得：$(3x + 6x - x) - (3 + 5) = 0$，即$8x - 8 = 0$移项得：$8x = 8$系数化为$1$得：$x = 1$- **步骤四：检验根的有效性**把$x = 1$代入原方程的分母$x(x - 1)$中，可得$1\times(1 - 1)=0$，分母为$0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。【答案】：无解

1. 已知$x$为整数，且$\frac {2}{x+3}+\frac {2}{3-x}+\frac {2x+18}{x^{2}-9}$为整数，求所有符合条件的$x$值的和.

答案： 【解析】：
本题可先对原式进行化简，再根据化简结果为整数来确定$x$的值，最后求出所有符合条件的$x$值的和。
- **步骤一：对原式进行化简**
已知原式$\frac {2}{x + 3} + \frac {2}{3 - x} + \frac {2x + 18}{x^2 - 9}$，先将$\frac {2}{3 - x}$变形为$-\frac {2}{x - 3}$，$x^2 - 9$因式分解为$(x + 3)(x - 3)$，则原式可化为：
$\frac {2}{x + 3} - \frac {2}{x - 3} + \frac {2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}$
通分，给$\frac {2}{x + 3}$分子分母同乘$(x - 3)$，给$\frac {2}{x - 3}$分子分母同乘$(x + 3)$，可得：
$\frac{2(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \frac {2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}$
根据同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，对上式进行计算：
$\begin{aligned}&\frac{2(x - 3) - 2(x + 3) + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x - 6 - 2x - 6 + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x + 6}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2}{x - 3}\end{aligned}$
- **步骤二：根据化简结果为整数确定$x$的值**
因为$\frac{2}{x - 3}$为整数，且$x$为整数，所以$x - 3$是$2$的因数。
$2$的因数有$\pm1$，$\pm2$，则可据此列出：
当$x - 3 = 1$时，解方程可得$x = 4$；
当$x - 3 = -1$时，解方程可得$x = 2$；
当$x - 3 = 2$时，解方程可得$x = 5$；
当$x - 3 = -2$时，解方程可得$x = 1$。
- **步骤三：计算所有符合条件的$x$值的和**
将$x = 4$，$x = 2$，$x = 5$，$x = 1$相加，可得：
$4 + 2 + 5 + 1 = 12$
【答案】：$12$

2. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，需12天完成，现两队合作8天后甲队被调走，乙队又单独工作10天才完成，甲、乙两队单独工作各需多少天完成？

答案： 【解析】：设这项工程的工作量为单位“$1$”，甲队单独工作需要$x$天完成，乙队单独工作需要$y$天完成。
根据工作效率 = 工作量÷工作时间，可得甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{y}$。
已知甲、乙两个工程队共同完成一项工程需$12$天完成，则两队合作的工作效率为$\frac{1}{12}$，可列方程：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$ ①。
两队合作$8$天的工作量为$8\times\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$，乙队又单独工作$10$天的工作量为$10\times\frac{1}{y}$，而整个工程的工作量为单位“$1$”，可列方程：$\frac{2}{3}+ \frac{10}{y}=1$。
解方程$\frac{2}{3}+ \frac{10}{y}=1$：
$\frac{10}{y}=1 - \frac{2}{3}$
$\frac{10}{y}=\frac{1}{3}$
$y = 30$。
把$y = 30$代入①式$\frac{1}{x}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}$，
$\frac{1}{x}=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}$
$\frac{1}{x}=\frac{5}{60}-\frac{2}{60}$
$\frac{1}{x}=\frac{3}{60}$
$\frac{1}{x}=\frac{1}{20}$
$x = 20$。
【答案】：甲队单独工作需$20$天完成，乙队单独工作需$30$天完成。