《2025年新课堂假期生活暑假用书八年级数学华师大版》

6. 有理数x、y满足$xy=1$，设$M=\frac {1}{1+x}+\frac {1}{1+y},N=\frac {x}{1+x}+\frac {y}{1+y}$，则M、N的大小关系是（A）
A. $M=N$
B. $M＞N$
C. $M＜N$
D. 不确定

答案： A

1. 已知$\frac {1+x}{1-x}=\frac {1-y}{1+y}$，求$(2+x)(2+y)+x^{2}$的值.

答案： 【解析】：
首先对$\frac{1 + x}{1 - x}=\frac{1 - y}{1 + y}$进行化简：
$(1 + x)(1 + y)=(1 - x)(1 - y)$
展开式子得：$1 + y + x + xy = 1 - y - x + xy$
移项可得：$y + x + y + x = 0$，即$2x + 2y = 0$，进一步得出$x + y = 0$，也就是$y=-x$。
然后将$y = -x$代入$(2 + x)(2 + y)+x^{2}$中：
$(2 + x)(2 - x)+x^{2}$
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2$，$b = x$，则$(2 + x)(2 - x)=4 - x^{2}$。
所以$(2 + x)(2 - x)+x^{2}=4 - x^{2}+x^{2}=4$。
【答案】：4

2. 已知$P=\frac {x^{2}}{x-y}-\frac {y^{2}}{x-y},Q=(x+y)^{2}-2y(x+y)$，小冬、小露两人在$x=2,y=-1$的条件下分别计算了P和Q的值，小冬说P的值比Q大，小露说Q的值比P大.请你判断谁的结论正确，并说明理由.
小露的结论正确.

答案： 小露的结论正确.

3. 已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}=2001$，求分式$\frac {x-xy-y}{x-y}$的值.

答案： 【解析】：本题可先对已知条件$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2001$进行通分变形，再将所求分式$\frac{x - xy - y}{x - y}$进行变形，最后代入计算。
- **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2001$进行通分变形**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$通分，根据分式通分的规则，先找到两个分式分母$x$和$y$的最简公分母$xy$，再将两个分式化为同分母分式进行计算，可得：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy}=\frac{y - x}{xy}$
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2001$，则$\frac{y - x}{xy}=2001$，即$y - x = 2001xy$，那么$x - y = -2001xy$。
- **步骤二：对所求分式$\frac{x - xy - y}{x - y}$进行变形**
将分子$x - xy - y$变形为$(x - y) - xy$，则原式可化为$\frac{(x - y) - xy}{x - y}$。
- **步骤三：将$x - y = -2001xy$代入变形后的分式进行计算**
把$x - y = -2001xy$代入$\frac{(x - y) - xy}{x - y}$可得：
$\frac{-2001xy - xy}{-2001xy}=\frac{-2002xy}{-2001xy}$
因为$x$、$y$在原式分母位置，所以$x\neq0$，$y\neq0$，则$xy\neq0$，那么分子分母同时约去$xy$可得：
$\frac{-2002xy}{-2001xy}=\frac{2002}{2001}$
【答案】：$\frac{2002}{2001}$