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15. (2025·上海松江区期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ},∠ABC的平分线交AC于点D$,$DE⊥BC于点E$,如果$△ABC与△CDE$的周长分别为13和3,那么$AB$的长为____.
答案：
5 [解析]
∵∠BAC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,
∴AD=DE,在Rt△ABD和Rt△EBD中,BD=BD,AD=ED,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),
∴AB=BE.
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3,
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3,
∴AB+BE=10,
∴AB=BE=5.
∵∠BAC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,
∴AD=DE,在Rt△ABD和Rt△EBD中,BD=BD,AD=ED,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),
∴AB=BE.
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3,
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3,
∴AB+BE=10,
∴AB=BE=5.
16. (2025·江苏徐州期末)如图,$△ABC$中,$D是BC$边上的中点,若$AB= 7,AC= 9,AD$的取值范围是____.
答案：
1＜AD＜8 [解析]如图,延长AD到点E,使ED=AD,连接EC.
∵D是BC边上的中点,
∴CD=BD.在△ECD和△ABD中,ED=AD,∠EDC=∠ADB,CD=BD,
∴△ECD≌△ABD(SAS),
∴EC=AB=7.
∵AC−EC＜AE＜AC+EC,且AE=2AD,AC=9,
∴9−7＜2AD＜9+7,
∴1＜AD＜8,
∴AD的取值范围是1＜AD＜8.
∵D是BC边上的中点,
∴CD=BD.在△ECD和△ABD中,ED=AD,∠EDC=∠ADB,CD=BD,
∴△ECD≌△ABD(SAS),
∴EC=AB=7.
∵AC−EC＜AE＜AC+EC,且AE=2AD,AC=9,
∴9−7＜2AD＜9+7,
∴1＜AD＜8,
∴AD的取值范围是1＜AD＜8.
17. (2025·福建福州福清期末)如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD,∠ABC= α$,连接$AC$,在射线$AB$,$CA上存在两动点E,F$,满足$AE= CF$,若$∠ACE= β$,当$BF+CE$的值最小时,则$∠CBF= $____.(用$α,β$表示)
答案：
α−β [解析]如图
(1),在CD上截取CH=CA,连接HF,BH.
∵AB//CD,
∴∠EAC=∠FCH,
∵AE=CF,
∴△EAC≌△FCH(SAS),
∴HF=CE,
∴BF+CE=BF+HF,
∴当B,F,H三点共线时,BF+CE的值最小.如图
(2),当点E在AB上时，
∵△EAC≌△FCH,
∴∠FHC=∠ACE=β.
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠FHC=β,
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=α−β.当E在AB延长线上时,同理可得∠CBF=α−β.综上可知:∠CBF=α−β.
(1),在CD上截取CH=CA,连接HF,BH.
∵AB//CD,
∴∠EAC=∠FCH,
∵AE=CF,
∴△EAC≌△FCH(SAS),
∴HF=CE,
∴BF+CE=BF+HF,
∴当B,F,H三点共线时,BF+CE的值最小.如图
(2),当点E在AB上时，
∵△EAC≌△FCH,
∴∠FHC=∠ACE=β.
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠FHC=β,
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=α−β.当E在AB延长线上时,同理可得∠CBF=α−β.综上可知:∠CBF=α−β.
18. (2024·山东淄博期末)如图,$BD为△ABC$的角平分线,且$BD= BC,E为BD$延长线上的一点,$BE= BA$,过点$E作EF⊥AB,F$为垂足.下列结论:①$△ABD\cong △EBC$;②$∠BCE+∠BCD= 180^{\circ}$;③$AD= AE= EC$;④$BA+BC= 2BF$.其中正确的是____.
答案：
①②③④ [解析]
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC.在△ABD和△EBC中,BD=BC,∠ABD=∠EBC,BA=BE,
∴△ABD≌△EBC(SAS),故①正确;
∴∠BCE=∠BDA.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠BDC=∠ADE,
∴∠BCD=∠ADE,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠ADE=180°.故②正确;
∵BE=BA,
∴∠BEA=∠BAE.
∵∠ABE=∠DBC,∠BDC=∠BCD,
∴∠ADE=∠BDC=$\frac{1}{2}$(180°−∠DBC)=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABE)=∠BEA,易得AD=AE.
∵AD=EC,
∴AD=AE=EC.故③正确;如图，在BA上截取BG=BC,连接GE.在△BGE和△BCE中,BG=BC,∠GBE=∠CBE,BE=BE,
∴△BGE≌△BCE(SAS),
∴EG=EC,
∴EG=AE.
∵EF⊥AG,易得GF=AF,
∴BA−BF=BF−BG,
∴BA+BG=2BF,
∴BA+BC=2BF.故④正确方法技巧 与角平分线有关的两种辅助线:
(1)过角平分线上的点作角两边的垂线段;
(2)利用角平分线的对称性，构造全等三角形
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC.在△ABD和△EBC中,BD=BC,∠ABD=∠EBC,BA=BE,
∴△ABD≌△EBC(SAS),故①正确;
∴∠BCE=∠BDA.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠BDC=∠ADE,
∴∠BCD=∠ADE,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠ADE=180°.故②正确;
∵BE=BA,
∴∠BEA=∠BAE.
∵∠ABE=∠DBC,∠BDC=∠BCD,
∴∠ADE=∠BDC=$\frac{1}{2}$(180°−∠DBC)=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABE)=∠BEA,易得AD=AE.
∵AD=EC,
∴AD=AE=EC.故③正确;如图，在BA上截取BG=BC,连接GE.在△BGE和△BCE中,BG=BC,∠GBE=∠CBE,BE=BE,
∴△BGE≌△BCE(SAS),
∴EG=EC,
∴EG=AE.
∵EF⊥AG,易得GF=AF,
∴BA−BF=BF−BG,
∴BA+BG=2BF,
∴BA+BC=2BF.故④正确方法技巧 与角平分线有关的两种辅助线:
(1)过角平分线上的点作角两边的垂线段;
(2)利用角平分线的对称性，构造全等三角形
19. (2025·淮安一模)已知:如图,点$A,F,C,D$在同一直线上,$AB// DE,AB= DE,AF= CD$.求证:$EF// BC$.
答案：
∵AB//DE,
∴∠A=∠D.
∵AF=CD,
∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF.在△ABC与△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠BCA=∠EFD,
∴BC//EF.
∵AB//DE,
∴∠A=∠D.
∵AF=CD,
∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF.在△ABC与△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠BCA=∠EFD,
∴BC//EF.
20. (2025·广东揭阳惠来期末)如图,点$B,E,C,F$在一条直线上,$AC与DE相交于点O,AB= DE$,$AB// DE,BE= CF$.
(1)求证:$AC// DF$;
(2)若$∠B= 65^{\circ},∠F= 35^{\circ}$,求$∠EOC$的度数.
(1)求证:$AC// DF$;
(2)若$∠B= 65^{\circ},∠F= 35^{\circ}$,求$∠EOC$的度数.
答案：
(1)
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠F,
∴AC//DF.
(2)由
(1)得∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,
∴∠DEF=∠B=65°,∠ACB=∠F=35°.在△EOC中,∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°,
∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB=180°−65°−35°=80°.
(1)
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠F,
∴AC//DF.
(2)由
(1)得∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,
∴∠DEF=∠B=65°,∠ACB=∠F=35°.在△EOC中,∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°,
∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB=180°−65°−35°=80°.
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