《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

20.如图(1),在△ABC中,CD是高,若∠A= ∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如图(2),若AE是△ABC的角平分线,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE= ∠CEF.

答案：
(1)△ABC是直角三角形.理由如下：
∵在△ABC中，CD是高，∠A=∠DCB，
∴∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形.
(2)
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠DAF=∠CAE.
∵∠FDA=90°，∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠AFD=90°，∠CAE+∠CEA=90°.
∴∠AFD=∠CEA.
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEA，即∠CFE=∠CEF.

21.(2025·广东湛江期末)在△ABC中,∠ACB＞∠ABC,D,E分别是边BC和BC延长线上的点,连接AD,AE,∠CAE= ∠B.
(1)如图(1),若∠ADE= 60°,∠CAE= 40°,求∠BAD的度数;
(2)如图(2),已知∠DAE= ∠ADE,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.

答案：
(1)
∵∠CAE=∠B，∠CAE=40°，
∴∠B=40°.
∵∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADE-∠B=60°-40°=20°.
(2)AD平分∠BAC.理由如下：
∵∠DAE=∠ADE，且∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠ADE=∠B+∠BAD.
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD.
∵∠CAE=∠B，
∴∠DAC=∠BAD，
∴AD平分∠BAC.

22. 方程思想点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC= 60°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图(1),将三角板MON的一边ON与射线OB重合,则∠MOC= ______;
(2)如图(2),将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度,此时OC是∠MOB的平分线,求∠BON和∠CON的度数;
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图(3)时,若∠NOC= $\frac{1}{5}$∠AOM,求出∠NOB的度数.

答案：
(1)30° [解析]
∵∠MON=90°，∠BOC=60°，
∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°.
(2)
∵OC是∠MOB的平分线，∠BOC=60°，
∴∠BOM=2∠BOC=120°.
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠BOM-∠MON=30°，
∴∠CON=∠BOC-∠BON=30°.
∴∠BON的度数为30°，∠CON的度数为30°.
(3)
∵∠NOC=$\frac{1}{5}$∠AOM，
∴设∠NOC=x°，则∠AOM=5x°.
∵∠MON=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOM+∠NOC=180°-∠MON-∠BOC=30°，
∴5x+x=30，解得x=5，
∴∠NOC=5°，
∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=65°.
∴∠NOB的度数为65°.