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26.数学文化 笛卡尔《几何学》(2025·重庆江津区期末)阅读下列材料:
1637年笛卡尔(R. Descartes,1596~1650年)在其《几何学》中,首次应用待定系数法将四次方程分解为两个二次方程求解,并最早给出因式分解定理.
他认为,若一个高于二次的关于$x的多项式能被(x - a)$整除,则其一定可以分解为$(x - a)$与另外一个整式的乘积,而且令这个多项式的值为0时,$x = a是关于x$的这个方程的一个根.
例如:多项式$x^{2} + 9x - 10可以分解为(x - 1)与另外一个整式M$的乘积,
即$x^{2} + 9x - 10 = (x - 1)·M$.
令$x^{2} + 9x - 10 = 0$时,可知$x = 1$为该方程的一个根.
关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下:
分解因式:$x^{3} + 2x^{2} - 3$.
观察知,显然$x = 1$时,原式$= 0$,因此原式可分解为$(x - 1)$与另一个整式的积.
令$x^{3} + 2x^{2} - 3 = (x - 1)(x^{2} + bx + c)$,
而$(x - 1)(x^{2} + bx + c) = x^{3} + (b - 1)x^{2} + (c - b)x - c$,
因等式两边$x$同次幂的系数相等,则有$\begin{cases}b - 1 = 2,\\c - b = 0,\\-c = -3,\end{cases} 解得\begin{cases}b = 3,\\c = 3,\end{cases} $
从而$x^{3} + 2x^{2} - 3 = (x - 1)(x^{2} + 3x + 3)$.
此时,不难发现$x = 1是方程x^{3} + 2x^{2} - 3 = 0$的一个根.
根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)若$x + 1是多项式x^{3} + ax + 1$的因式,求$a的值并将多项式x^{3} + ax + 1$分解因式;
(2)若多项式$3x^{4} + ax^{3} + bx - 34含有因式x + 1及x - 2$,求$a + b$的值.
1637年笛卡尔(R. Descartes,1596~1650年)在其《几何学》中,首次应用待定系数法将四次方程分解为两个二次方程求解,并最早给出因式分解定理.
他认为,若一个高于二次的关于$x的多项式能被(x - a)$整除,则其一定可以分解为$(x - a)$与另外一个整式的乘积,而且令这个多项式的值为0时,$x = a是关于x$的这个方程的一个根.
例如:多项式$x^{2} + 9x - 10可以分解为(x - 1)与另外一个整式M$的乘积,
即$x^{2} + 9x - 10 = (x - 1)·M$.
令$x^{2} + 9x - 10 = 0$时,可知$x = 1$为该方程的一个根.
关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下:
分解因式:$x^{3} + 2x^{2} - 3$.
观察知,显然$x = 1$时,原式$= 0$,因此原式可分解为$(x - 1)$与另一个整式的积.
令$x^{3} + 2x^{2} - 3 = (x - 1)(x^{2} + bx + c)$,
而$(x - 1)(x^{2} + bx + c) = x^{3} + (b - 1)x^{2} + (c - b)x - c$,
因等式两边$x$同次幂的系数相等,则有$\begin{cases}b - 1 = 2,\\c - b = 0,\\-c = -3,\end{cases} 解得\begin{cases}b = 3,\\c = 3,\end{cases} $
从而$x^{3} + 2x^{2} - 3 = (x - 1)(x^{2} + 3x + 3)$.
此时,不难发现$x = 1是方程x^{3} + 2x^{2} - 3 = 0$的一个根.
根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)若$x + 1是多项式x^{3} + ax + 1$的因式,求$a的值并将多项式x^{3} + ax + 1$分解因式;
(2)若多项式$3x^{4} + ax^{3} + bx - 34含有因式x + 1及x - 2$,求$a + b$的值.
答案：
(1)令$x^{3}+ax+1=(x+1)(x^{2}+bx+c)=x^{3}+(b+1)x^{2}+(c+b)x+c$.
∵等式两边x同次幂的系数相等，
∴$\left\{\begin{array}{l}b+1=0\\c+b=a\\c=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\b=-1\\c=1\end{array}\right.$，从而$x^{3}+ax+1=x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$.
(2)设$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=(x+1)(x-2)M$（其中M为二次整式），由材料可知$x+1=0$或$x-2=0$时，$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=0$，
∴$x=-1$，$x=2$是方程$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=0$的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}3-a-b-34=0\\48+8a+2b-34=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=8\\b=-39\end{array}\right.$，
∴$a+b=8+(-39)=-31$.
(1)令$x^{3}+ax+1=(x+1)(x^{2}+bx+c)=x^{3}+(b+1)x^{2}+(c+b)x+c$.
∵等式两边x同次幂的系数相等，
∴$\left\{\begin{array}{l}b+1=0\\c+b=a\\c=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\b=-1\\c=1\end{array}\right.$，从而$x^{3}+ax+1=x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$.
(2)设$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=(x+1)(x-2)M$（其中M为二次整式），由材料可知$x+1=0$或$x-2=0$时，$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=0$，
∴$x=-1$，$x=2$是方程$3x^{4}+ax^{3}+bx-34=0$的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}3-a-b-34=0\\48+8a+2b-34=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=8\\b=-39\end{array}\right.$，
∴$a+b=8+(-39)=-31$.
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