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9.(2025·山东滨州滨城区期末)下列条件:①∠A+∠B= ∠C;②∠A:∠B:∠C= 1:2:3;③∠A= 90°-∠B;④∠A= ∠B= ∠C;⑤∠A= 2∠B= 3∠C,其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( ).
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案：
9.C [解析]①
∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.②
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠C=$\frac{3}{1+2+3}×180^{\circ}=90^{\circ}$，
∴△ABC是直角三角形.③
∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.④
∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形.⑤
∵∠A=2∠B=3∠C，
∴设∠C=x，则∠A=3x，∠B=$\frac{3}{2}x$.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+3x+$\frac{3}{2}x=180^{\circ}$，解得x=$(\frac{360}{11})^{\circ}$，
∴∠A=$(\frac{1080}{11})^{\circ}$，∠B=$(\frac{540}{11})^{\circ}$，∠C=$(\frac{360}{11})^{\circ}$，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个.故选C.
∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.②
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠C=$\frac{3}{1+2+3}×180^{\circ}=90^{\circ}$，
∴△ABC是直角三角形.③
∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.④
∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形.⑤
∵∠A=2∠B=3∠C，
∴设∠C=x，则∠A=3x，∠B=$\frac{3}{2}x$.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+3x+$\frac{3}{2}x=180^{\circ}$，解得x=$(\frac{360}{11})^{\circ}$，
∴∠A=$(\frac{1080}{11})^{\circ}$，∠B=$(\frac{540}{11})^{\circ}$，∠C=$(\frac{360}{11})^{\circ}$，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个.故选C.
10.(2025·湖北武汉东西湖区期中)如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E,记∠BAC= ∠1,∠BEC= ∠2,给出下列结论,其中错误的是( ).
A.∠1= 2∠2
B.∠BOC= 3∠2
C.∠BOC= 90°+$\frac{1}{2}$∠1
D.∠BOC= 90°+∠2
A.∠1= 2∠2
B.∠BOC= 3∠2
C.∠BOC= 90°+$\frac{1}{2}$∠1
D.∠BOC= 90°+∠2
答案：
10.B [解析]
∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE-∠DBE=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠1=2∠2，故选项A不符合题意；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠1)=90°+$\frac{1}{2}$∠1=90°+$\frac{1}{2}×2$∠2=90°+∠2，故选项C，D不符合题意，选项B符合题意.故选B.
∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE-∠DBE=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠1，
∴∠1=2∠2，故选项A不符合题意；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠1)=90°+$\frac{1}{2}$∠1=90°+$\frac{1}{2}×2$∠2=90°+∠2，故选项C，D不符合题意，选项B符合题意.故选B.
11.(2025·湖北武汉东西湖区期中)如图,点D在△ABC的边BC的延长线上,若∠B= 45°,∠ACD= 150°,则∠A的大小为______.
答案：
105°
12. 实验班原创如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ACB的外角∠ACM的平分线,如果∠ABP= 25°,∠ACP= 48°,那么∠A+∠P= ______.
答案：
69° [解析]
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，∠ABP=25°，∠ACP=48°，
∴∠ABC=2∠ABP=50°，∠ACM=2∠ACP=96°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=96°-50°=46°，∠ACB=180°-∠ACM=84°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=84°+48°=132°.
∵∠PBC=25°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-25°-132°=23°，
∴∠A+∠P=69°.
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，∠ABP=25°，∠ACP=48°，
∴∠ABC=2∠ABP=50°，∠ACM=2∠ACP=96°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=96°-50°=46°，∠ACB=180°-∠ACM=84°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=84°+48°=132°.
∵∠PBC=25°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-25°-132°=23°，
∴∠A+∠P=69°.
13.(2025·广东湛江期末)如图,在△ABC中,点D在边BC上,已知点E,F分别是AD,CE边上的中点,且△BEF的面积为6,则△ABC的面积等于______.
答案：
24
14.(2024·河北石家庄藁城区期末)如图,在△ABC中,∠B= 40°,∠C= 30°,点D为边BC上一点,将△ADC沿直线AD折叠后,点C落到点E处,若DE//AB,则∠ADE的度数为______.
答案：
110° [解析]
∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=110°.由折叠的性质，得∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC.
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAD=40°，
∴∠ADE=∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°.
∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=110°.由折叠的性质，得∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC.
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAD=40°，
∴∠ADE=∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°.
15.(2025·山东济南历城区期末)如图,直线l经过A,B,C,D,E五点,点P是直线l外一点,连接PA,PB,PC,PD,PE,则共有______个三角形.
答案：
10
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