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9.(2024·河南新乡卫辉期中)如图,$∠AOB= 120^{\circ }$,OP平分$∠AOB$,且$OP= 1$.若点M,N分别在OA,OB上,且$△PMN$为等边三角形,则满足上述条件的$△PMN$有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案：
D [解析]如图,过点P
作PM⊥OA于点M,
PN⊥OB于点N.
∵OP平分∠AOB,PM
⊥OA,PN⊥OB,
∴PM=PN,∠PMO=
90°,∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°−∠AOB−∠PMO−∠PNO=60°,
∴此时，△PMN是等边三角形.
当M向MO方向移动,N向NB方向移动，且使∠PMM₁=∠PNN₁,
∴∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠PNN₁=∠M₁PN+∠PMM₁=
∠MPN=60°.
∠PMM₁=∠PNN₁,
在△PMM₁和△PNN₁中,PM=PN,
∠PMM₁=∠PNN₁,
∴△PMM₁≌△PNN₁(ASA),
∴PM₁=PN₁,
∴△M₁PN₁是等边三角形.
同理，当M向MA方向移动，N向NO方向移动，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN.
综上，满足条件的△PMN有无数个.故选D.
方法技巧 解答本题的关键是利用角平分线的性质构造全等三角形
D [解析]如图,过点P
作PM⊥OA于点M,
PN⊥OB于点N.
∵OP平分∠AOB,PM
⊥OA,PN⊥OB,
∴PM=PN,∠PMO=
90°,∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°−∠AOB−∠PMO−∠PNO=60°,
∴此时，△PMN是等边三角形.
当M向MO方向移动,N向NB方向移动，且使∠PMM₁=∠PNN₁,
∴∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠PNN₁=∠M₁PN+∠PMM₁=
∠MPN=60°.
∠PMM₁=∠PNN₁,
在△PMM₁和△PNN₁中,PM=PN,
∠PMM₁=∠PNN₁,
∴△PMM₁≌△PNN₁(ASA),
∴PM₁=PN₁,
∴△M₁PN₁是等边三角形.
同理，当M向MA方向移动，N向NO方向移动，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN.
综上，满足条件的△PMN有无数个.故选D.
方法技巧 解答本题的关键是利用角平分线的性质构造全等三角形
10.(2025·南昌模拟)如图,$△ABC$是等边三角形,分别以点A和点C为圆心,一定的长度为半径画弧,两弧交于M,N两点,连接MN,交AC于点D,又以点C为圆心,CD的长度为半径画弧交BC的延长线于点E,连接ED并延长交AB于点F,经过此操作后,下列结论错误的是( ).
A.MN平分$∠ABC$
B.$∠BEF= 30^{\circ }$
C.$CD= DF$
D.$BE= 2BF$
A.MN平分$∠ABC$
B.$∠BEF= 30^{\circ }$
C.$CD= DF$
D.$BE= 2BF$
答案：
C [解析]根据作图可得，MN垂直平分线段AC,由条件可知,BD⊥AC,BD平分∠ABC,点D是AC中点，
∴BD是线段AC的垂直平分线,
∴MN与BD重合,
∴MN平分∠ABC,故A选项正确，不符合题意;
由条件可知∠CDE+∠CED=∠ACB=60°,∠CDE=
∠CED,
∴∠CED=30°,即∠BEF=30°,故B选项正确，不符合题意;
∵点D是AC的中点，
∴CD=AD.
∵∠A=60°,∠ADF=∠CDE=30°,
∴∠AFD=180°−∠A−∠ADF=180°−60°−30°=90°,在Rt△ADF中,AD是斜边,DF是直角边，
∴AD＞DF,
∴CD＞DF,故C选项错误，符合题意;
∵∠AFD=90°,
∴∠BFE=90°,且∠BEF=30°,
∴在Rt△BEF中,BE=2BF,故D选项正确，不符合题意.故选C;
∴BD是线段AC的垂直平分线,
∴MN与BD重合,
∴MN平分∠ABC,故A选项正确，不符合题意;
由条件可知∠CDE+∠CED=∠ACB=60°,∠CDE=
∠CED,
∴∠CED=30°,即∠BEF=30°,故B选项正确，不符合题意;
∵点D是AC的中点，
∴CD=AD.
∵∠A=60°,∠ADF=∠CDE=30°,
∴∠AFD=180°−∠A−∠ADF=180°−60°−30°=90°,在Rt△ADF中,AD是斜边,DF是直角边，
∴AD＞DF,
∴CD＞DF,故C选项错误，符合题意;
∵∠AFD=90°,
∴∠BFE=90°,且∠BEF=30°,
∴在Rt△BEF中,BE=2BF,故D选项正确，不符合题意.故选C;
11.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },CD⊥AB$.若$AD= 1$,则BD的长是____.
答案：
3 [解析]
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=90°−∠B=60°,AB=2AC.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=90°−∠A=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC,即AC=2AD=2,
∴AB=2AC=4,
∴BD=AB−AD=4−1=3.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=90°−∠B=60°,AB=2AC.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=90°−∠A=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC,即AC=2AD=2,
∴AB=2AC=4,
∴BD=AB−AD=4−1=3.
12.在平面直角坐标系中,点$(m,-2)与(3,n)$关于x轴对称,则$m+n= $____.
答案：
5 [解析]
∵点(m,−2)与点(3,n)关于x轴对称,
∴m=3,n=2,
∴m+n=3+2=5.
∵点(m,−2)与点(3,n)关于x轴对称,
∴m=3,n=2,
∴m+n=3+2=5.
13.(2024·湖北襄阳谷城期末)如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },AC= 4cm$,P为BC边的垂直平分线DE上一个动点,则$△ACP$的周长最小值为____cm.
答案：
12 [解析]
∵P为BC边的
垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE
对称，
∴当动点P和点E重合时,
△ACP的周长有最小值.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
AC=4cm,
∴AB=2AC=8cm.
∵AP+CP=AP+BP=AB=8cm,
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=12(cm).
12 [解析]
∵P为BC边的
垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE
对称，
∴当动点P和点E重合时,
△ACP的周长有最小值.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
AC=4cm,
∴AB=2AC=8cm.
∵AP+CP=AP+BP=AB=8cm,
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=12(cm).
14.分类讨论思想(2025·江苏连云港赣榆区期中)如图,在等腰三角形ABC中,$AB= AC,∠B= 50^{\circ }$,D为BC的中点,点E在AB上,$∠AED= 69^{\circ }$,若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点,则当$△EDP$为等腰三角形时,$∠EDP$的度数是____.
答案：
100°或142° [解析]如图，连接AD.
∵AB=AC,∠B=50°,
∴∠C=
∠B=50°,
∴∠BAC=180°−
50°−50°=80°.
∵点P是等腰三角形ABC的腰
AC上的一点,AB=AC,D为BC
的中点，
∴∠BAD=∠CAD.
过点D作DH⊥AC,DG⊥AB,
∴DG=DH.
在Rt△DEG与Rt△DP₂H中,{DE=DP₂,DG=DH,
∴Rt△DEG≌Rt△DP₂H(HL),
∴∠AP₂D=∠AED=69°,
∵∠BAC=80°,
∴∠EDP₂=142°.
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP₁H,
∴∠EDG=∠P₁DH,
∴∠EDP₁=∠GDH=100°.
综上,∠EDP的度数为142°或100°.
100°或142° [解析]如图，连接AD.
∵AB=AC,∠B=50°,
∴∠C=
∠B=50°,
∴∠BAC=180°−
50°−50°=80°.
∵点P是等腰三角形ABC的腰
AC上的一点,AB=AC,D为BC
的中点，
∴∠BAD=∠CAD.
过点D作DH⊥AC,DG⊥AB,
∴DG=DH.
在Rt△DEG与Rt△DP₂H中,{DE=DP₂,DG=DH,
∴Rt△DEG≌Rt△DP₂H(HL),
∴∠AP₂D=∠AED=69°,
∵∠BAC=80°,
∴∠EDP₂=142°.
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP₁H,
∴∠EDG=∠P₁DH,
∴∠EDP₁=∠GDH=100°.
综上,∠EDP的度数为142°或100°.
15.(2025·浙江金华永康期末)“三等分角”是古希腊三大几何问题之一,借助如图(1)的三等分角仪可以三等分角.图(2)是这个三等分角仪的示意图,有公共端点P的两条线段PA,PB可以绕点P转动,点C固定,点D,E在槽中可以滑动,且$CE= DE= CP$.若$∠DEB= 87^{\circ }$,则$∠APB$的度数为____$^{\circ }$.
答案：
29 [解析]
∵CE=DE=CP,
∴∠P=∠CEP,∠ECD=∠EDC,
∴∠ECD=∠P+∠CEP=2∠P,
∴∠EDC=2∠P.
∵∠P+∠CDE=∠DEB,
∴3∠P=∠DEB.
∵∠DEB=87°,
∴∠APB=29°.
∵CE=DE=CP,
∴∠P=∠CEP,∠ECD=∠EDC,
∴∠ECD=∠P+∠CEP=2∠P,
∴∠EDC=2∠P.
∵∠P+∠CDE=∠DEB,
∴3∠P=∠DEB.
∵∠DEB=87°,
∴∠APB=29°.
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