《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

25.在四边形ABCD中,∠A= ∠C= 90°.
(1)∠ABC+∠ADC= ______;
(2)如图(1),若DE平分∠ADC,BF平分∠CBM,请写出DE与BF的位置关系,并证明;
(3)如图(2),若BE,DE分别四等分∠CBM,∠CDN,即∠CDE= $\frac{1}{4}$∠CDN,∠CBE= $\frac{1}{4}$∠CBM,试求∠E的度数.

答案：

(1)180°
(2)DE⊥BF.证明如下：如图
(1)，延长DE交BF于点G.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM.又∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF.又∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，即DE⊥BF.

(3)由
(1)，知∠ABC+∠ADC=180°，则∠CDN+∠CBM=180°.
∵BE，DE分别四等分∠ABC，∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=$\frac{1}{4}×180^{\circ}=45^{\circ}$.如图
(2)，延长DC交BE于点H.由三角形外角的性质，得∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E.
∴∠E=90°-45°=45°.

26. 中考新考法操作探究(2024·山东德州期末)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如图探究:
(1)[习题回顾]已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB= 90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE= ∠CEF;
(2)[变式思考]如图(2),在△ABC中,∠ACB= 90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B= 40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)[探究延伸]如图(3),在△ABC中,在AB上存在一点D,使得∠ACD= ∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M= 35°,求∠CFE的度数.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAF=∠DAF.
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE.
(2)
∵∠B=40°，∠ACB=90°，
∴∠GAB=∠B+∠ACB=40°+90°=130°.
∵AF为∠BAG的平分线，
∴∠GAF=∠DAF=$\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$.
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°.又∠CAE=∠GAF=65°，∠ACB=90°，
∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°.
(3)
∵C，A，G三点共线，AE，AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
∴∠M+∠CEF=90°.
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.