《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

16. 传统文化《周礼·考工记》《周礼·考工记》中记载有:……“半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是:……“直角的一半的角叫作宣,一宣半的角叫作欘……”即:1宣= $\frac{1}{2}$矩,1欘= 1$\frac{1}{2}$宣(其中,1矩= 90°).问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A= 1矩,∠B= 1欘,则∠C= ______度.

答案： 22.5 [解析]
∵1宣=$\frac{1}{2}$矩，1欘=1$\frac{1}{2}$宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90°，∠B=1$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×90^{\circ}=67.5^{\circ}$，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°.

17.(2025·陕西西安雁塔区期末)小明把一副含45°,30°角的直角三角板如图摆放,其中∠C= ∠F= 90°,∠A= 45°,∠D= 30°,则∠α+∠β等于______.

答案： 210°

18.(2024·四川达州期末)如图,∠ABC= ∠ACB,BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E.以下结论:①∠BDE= $\frac{1}{2}$∠BAC;②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC= 90°;④∠BAC+2∠BEC= 180°.其中正确的结论有(填序号)______.

答案： ①②③④ [解析]①BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E，
∴∠ACP=2∠DCP=2∠DCA，∠ABC=2∠DBC=2∠DBA，∠MBC=2∠CBE=2∠MBE.
∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，
∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC，故①正确；②
∵∠DBE=∠DBC+∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC=$\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，
∴EB⊥DB，故②正确；③
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC+2∠ABC=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ABC=90°.
∵∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDC+∠ABC=90°，故③正确；④
∵∠DBE=90°，
∴∠BDE+∠BEC=90°.
∵∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+∠BEC=90°，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确.综上，正确的有①②③④.

19.如图,已知△ABC.
(1)若AB= 4,AC= 5,则BC边的取值范围是______;
(2)点D为BC延长线上一点,过点D作DE//AC,交BA的延长线于点E,若∠E= 55°,∠ACD= 125°,求∠B的度数.

答案：
(1)1＜BC＜9
(2)
∵DE//AC，
∴∠BDE=180°-∠ACD=55°.
∵∠E=55°，
∴∠B=180°-∠E-∠BDE=180°-55°-55°=70°.