《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

6. (2025·江苏南京五十中月考)下列说法中,正确的有( ).
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②有一个角为$60^{\circ }$的等腰三角形是等边三角形;
③有两个角为$60^{\circ }$的三角形是等边三角形;
④若底角的平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴,则这个三角形是等边三角形

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： D

7. (2025·山东泰安岱岳区期中)如图,已知$∠ABC= 60^{\circ }$,点$D为BA$边上一点,$BD= 10$,点$O为线段BD$的中点,以点$O$为圆心,线段$OB$长为半径作弧,交$BC于点E$,连接$DE$,则$BE$的长是( ).

A.$5$
B.$10$
C.$2.5$
D.$3$

答案：
A　[解析]
∵BD=10，O为线段BD的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×10=5.以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，如图所示，连接OE，
∴OB=OE.
∵∠ABC=60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴BE=OB=5.故选A

8. (2025·福建福州期末)如图,在四边形$ABCD$中,$BD平分∠ABC$,且$AD= CD$,若$∠CBD= α$,则$∠ADC$一定等于( ).

A.$3α$
B.$90^{\circ }+2α$
C.$135^{\circ }-2α$
D.$180^{\circ }-2α$

答案：
D　[解析]作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°.
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠ABD=∠CBD=α.在Rt△ADE和Rt△CDF中，{AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∠ADC=∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=∠EDF.
∵∠EDF=360°−∠E−∠BFD−∠ABC=180°−2α，
∴∠ADC=180°−2α.故选D.

9. (2025·广东汕头潮阳区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },P是\triangle ABC$内一点,点$D,E,F分别是点P关于直线AC,AB,BC$的对称点,给出下面三个结论:
①$AE= AD$;
②$∠DPE= 90^{\circ }$;
③$∠ADC+∠BFC+∠BEA= 270^{\circ }$.
上述结论中,所有正确结论的序号是( ).

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案：
A　[解析]如图，连接AP，CP，BP，
∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，
∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，
∴AD=AP，AE=AP，
∴AE=AD，故①正确；
∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC=90°，
∴∠AMP=∠ANP=∠CAB=90°，
∴∠DPE=90°，故②正确；
∵AC为PD的垂直平分线，
∴AD=AP，CD=CP，
∴∠ADP=∠APD，∠CDP=∠CPD，
∴∠ADC=∠APC，同理得∠BFC=∠BPC，∠BEA=∠APB.
∵∠APC+∠BPC+∠APB=360°，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA=360°，故③错误.故选A.

10. (2024·湖南长沙期中)如图,已知$∠AOB= 120^{\circ }$,点$D是∠AOB$的平分线上的一个定点,点$E,F分别在射线OA和射线OB$上,且$∠EDF= 60^{\circ }$.下列结论:①$\triangle DEF$是等边三角形;②四边形$DEOF$的面积是一个定值;③当$DE⊥OA$时,$\triangle DEF$的周长最小;④当$DE// OB$时,$DF也平行于OA$.其中正确的个数是( ).

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：
C　[解析]过点D作DM⊥OB于点M，DN⊥OA于点N，如图所示.
∵点D是∠AOB的平分线上的一点，
∴DM=DN.
∵∠AOB=120°，∠DNO=∠DMO=90°，
∴∠MDN=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠EDN=∠FDM，
∴△DEN≌△DFM(ASA)，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，故①正确；
∵S△DEN=S△DFM，
∴S△DEN+S四边形DEOM=S四边形DEOM+S△DFM，即S四边形DEOF=S四边形DMON.
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，
∴四边形DMON的面积是一个定值，
∴四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确；
∵DE⊥OA，
∴点E与N重合.
∵垂线段最短，
∴DE的值最小.当DE最小时，△DEF的周长最小，
∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确；
∵DE//OB，
∴∠EDF=∠DFB=60°.
∵∠AOB=120°，
∴∠DFB≠∠AOB，
∴DF一定与OA不平行，故④错误.故选C.方法技巧　对于对角互补邻边相等的四边形，有两种处理问题的方法：方法一：作垂线，利用角平分线性质的基本图形来进行推理和证明；方法二：利用旋转,构造手拉手模型来解决问题.

11. (2025·重庆长寿区期末)如图,$\triangle ABC\cong \triangle A'BC',∠BAC= 66^{\circ },∠ABC'= 26^{\circ }$,此时$A'点恰好在线段A'C'$上,则$∠C$的度数为______.

答案： 40°　[解析]
∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠A'=∠BAC=66°，∠C=∠C'，BA=BA'，
∴∠BAA'=∠A'=66°.
∵∠ABC'=26°，
∴∠C'=∠BAA'−∠ABC'=66°−26°=40°，
∴∠C=40°.