《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

16.如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠B= 50^{\circ },∠BAC$的平分线与AB的垂直平分线交于点F,将$∠C$沿EG(点E在AC上,点G在BC上)折叠,使点C与点F恰好重合,则$∠FGE= $____.

答案：
80°　[解析]如图,连接FB,FC.
∵AB=AC,∠ABC=50°,
∴∠BAC=80°.
∵AF为∠BAC的平分线,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠BAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC
　　=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
∵DF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB,
∴∠ABF=∠BAF=40°,
∴∠FBC=∠ABC−∠ABF=50°−40°=10°.
∵AB=AC,∠BAF=∠CAF,AF=AF,
∴△AFB≌△AFC(SAS),
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB=10°.
　根据翻折的性质可得FG=CG,∠FGE=∠CGE,
∴∠CFG=∠GCF=10°,
∴∠FGC=160°,
∴∠FGE=80°.

17.分类讨论思想(2025·上海崇明区期末)如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形顶角的度数是____.

答案：
30°或150°　[解析分两种情况:
　　当高BD在等腰三角形ABC内时，如图
(1).
　　　　
∵BD⊥AC,
∴∠BDA=90°.
∵BD=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠A=30°.
　　当高BD在等腰三角形ABC外时，如图
(2).
∵BD⊥AC,
∴∠BDA=90°.
∵BD=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠DAB=30°,
∴∠BAC=180°−∠DAB=150°.
　综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是30°或150°.

18.(2025·浙江宁波海曙区期末)如图,在$△ABP$中,$∠B= 45^{\circ },∠APB= 120^{\circ }$,延长BP至点C,连接AC.
(1)若$PC= PA$,则$∠C= $____;
(2)若$PC= 2PB$,则$∠C= $____.

答案：

(1)60°　　[解析]
∵∠APB=120°,
∴∠APC=180°−∠APB=60°.
∵PC=PA,
∴∠PAC=∠C=$\frac{180°−∠APC}{2}$=60°.
(2)75°　[解析如图,过点C作CE⊥AP于E,连接BE.
　　　　　　　　
∵∠APB=120°,
∴∠APC=180°−∠APB=60°,
∴∠PCE=180°−∠PEC−∠EPC=30°,
∴PC=2PE.
∵PC=2PB,
∴PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB=$\frac{180°−∠BPE}{2}$=30°,
∴∠ABE=∠ABC−∠EBP=15°,∠EBC=∠ECB,
∴CE=BE,∠BAE=∠BEP−∠ABE=15°,
∴∠ABE=∠BAE=15°,
∴BE=AE,
∴AE=CE,
∴∠ACE=∠CAE=45°,
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=75°.

19.(2025·新疆乌鲁木齐十三中期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,三角形ABC的三顶点都在格点上,位置如图,请完成下面问题:
(1)画出三角形ABC关于y轴的对称图形$△A_{1}B_{1}C_{1}$(注意标出对应点字母);
(2)求三角形ABC的面积;
(3)在x轴上找一点P,使$AP+BP$最小,在图中画出点P(保留作图痕迹).

答案：

(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求;
(2)S△ABC=$\frac{1}{2}$×(2+3)×3−$\frac{1}{2}$×2×1−$\frac{1}{2}$×3×2=
　$\frac{15}{2}$−1−3=$\frac{7}{2}$.
(3)如图,取点A关于x轴的对称点A',连接A'B,交x轴于点P,连接AP,此时AP+BP=A'P+BP=A'B,为最小值，则点P即为所求.
　　　

20.(2025·广东广州黄埔区期末)已知$△ABC为底角为30^{\circ }$的等腰三角形.
(1)尺规作图作线段AC的垂直平分线,与AC交于点D,与BC交于点E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若$BC= 6$,求DE的长.

答案：

(1)如图，直线DE即为所求.
　　　　　　　
(2)如图，连接AE
∵△ABC为底角为30°的等腰三角形,
∴∠B=∠C=30°.
∵直线DE为线段AC的垂直平分线，
∴∠CDE=90°,AE=CE,
∴∠CAE=∠C=30°,
∴∠AEB=∠C+∠EAC=60°,
∴∠BAE=90°,
∴BE=2AE.
∵BC=6,
∴BE+CE=2AE+AE=6,
∴AE=2,
∴CE=2.
　　在Rt△CDE中,∠C=30°,
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=1.