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1. 下列式子中,是分式的是( ).
A.$\frac{1}{x}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$-\frac{x}{\pi}$
D.$\frac{x + y}{5}$
A.$\frac{1}{x}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$-\frac{x}{\pi}$
D.$\frac{x + y}{5}$
答案：
A [解析] $\frac{1}{x}$是分式;$\frac{1}{2}x,-\frac{x}{\pi},\frac{x+y}{5}$是整式.故选A.
归纳总结 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式.
归纳总结 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式.
2. 使分式$\frac{x + 3}{x - 3}$有意义的条件是( ).
A.$x = \pm 3$
B.$x \neq \pm 3$
C.$x \neq -3$
D.$x \neq 3$
A.$x = \pm 3$
B.$x \neq \pm 3$
C.$x \neq -3$
D.$x \neq 3$
答案：
D [解析] 根据题意,得$x-3\neq0$,解得$x\neq3$.故选D.
3. (2024·重庆九龙坡区期末)对于分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$,下列说法正确的是( ).
A.当$x = 0$时分式无意义
B.当$x = 2$时分式的值为零
C.当$x = \pm 2$时分式的值为零
D.当$x = -2$时分式有意义
A.当$x = 0$时分式无意义
B.当$x = 2$时分式的值为零
C.当$x = \pm 2$时分式的值为零
D.当$x = -2$时分式有意义
答案：
B [解析]
∵对于分式$\frac{|x|-2}{x+2}$,当$x+2=0$,即$x=-2$时无意义,当$x+2\neq0$,即$x\neq-2$时有意义,当$|x|-2=0$且$x+2\neq0$,即$x=2$时值为零.故选B.
易错警示 本题考查了分式有意义、无意义以及分式值为零的条件,分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意:"分母不为零"这个条件不能少.
∵对于分式$\frac{|x|-2}{x+2}$,当$x+2=0$,即$x=-2$时无意义,当$x+2\neq0$,即$x\neq-2$时有意义,当$|x|-2=0$且$x+2\neq0$,即$x=2$时值为零.故选B.
易错警示 本题考查了分式有意义、无意义以及分式值为零的条件,分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意:"分母不为零"这个条件不能少.
4. (2024·海南中考)分式方程$\frac{1}{x - 2} = 1$的解是( ).
A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.$x = 2$
D.$x = -2$
A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.$x = 2$
D.$x = -2$
答案：
A [解析] $\frac{1}{x-2}=1$,方程两边同乘$x-2$,得$1=x-2$,解得$x=3$,检验:当$x=3$时,$x-2\neq0$,所以原分式方程的解是$x=3$.故选A.
5. (2025·山东泰安期中)若关于$x的方程\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{5}{4}的根为x = 2$,则$a$的值为( ).
A.1
B.3
C.-2
D.-3
A.1
B.3
C.-2
D.-3
答案：
C [解析] 把$x=2$代入方程$\frac{2ax+3}{a-x}=\frac{5}{4}$,得$\frac{4a+3}{a-2}=\frac{5}{4}$,在方程两边同乘$4(a-2)$,得$4(4a+3)=5(a-2)$,解得$a=-2$,检验:当$a=-2$时,$a-x\neq0$.故选C.
方法诠释 一个数是某个方程的解,则这个数就满足这个方程,反过来,一个数满足某个方程,则这个数就是这个方程的解.
方法诠释 一个数是某个方程的解,则这个数就满足这个方程,反过来,一个数满足某个方程,则这个数就是这个方程的解.
6. (2025·山东一模)国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果,团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念,直接对线粒体成像,获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构,局部分辨率最高达0.000 000 000 18米,其中0.000 000 000 18用科学记数法表示为( ).
A.$1.8×10^{-9}$
B.$0.18×10^{-10}$
C.$18×10$
D.$1.8×10^{-10}$
A.$1.8×10^{-9}$
B.$0.18×10^{-10}$
C.$18×10$
D.$1.8×10^{-10}$
答案：
D
7. (2024·河南三门峡灵宝期末)若分式$\frac{x + 2y}{3x - 2y}中的x,y$都扩大为原来的3倍,则分式的值( ).
A.扩大为原来的9倍
B.扩大为原来的3倍
C.不变
D.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
A.扩大为原来的9倍
B.扩大为原来的3倍
C.不变
D.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
答案：
C [解析] 分式的x,y都扩大为原来的3倍变为$\frac{3x+2×3y}{3×3x-2×3y}=\frac{3(x+2y)}{3(3x-2y)}=\frac{x+2y}{3x-2y}$,即x,y都扩大为原来的3倍后分式的值不变.故选C.
8. (2025·重庆期末)已知关于$x$的多项式:$A = x^2 - 1,B = x - 1$,下列说法正确的有( ).
①若$A = B^2$,则$x = 1$;
②若$A + 4B = 2,x^2 \neq 7$,则$\frac{2024x}{x^2 - 7}$的值为-506;
③若$\frac{A}{B^2}$的值为整数,则满足条件的所有整数$x$的和为5.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①若$A = B^2$,则$x = 1$;
②若$A + 4B = 2,x^2 \neq 7$,则$\frac{2024x}{x^2 - 7}$的值为-506;
③若$\frac{A}{B^2}$的值为整数,则满足条件的所有整数$x$的和为5.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：
C [解析] ①$A=B^{2}$,即$x^{2}-1=(x-1)^{2}$,
∴$x^{2}-1=x^{2}-2x+1$,
∴$x=1$,因此①正确;②$A+4B=2$,即$x^{2}-1+4(x-1)=2$,
∴$x^{2}+4x-7=0$,即$x^{2}-7=-4x$,
∴$x^{2}\neq7$时,$\frac{2024x}{x^{2}-7}=\frac{2024x}{-4x}=-506$,因此②正确;③
∵$\frac{A}{B^{2}}=\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$的值为整数,
∴$x-1=\pm1$或$x-1=\pm2$,解得$x=2$或$x=0$或$x=3$或$x=-1$,
∴满足条件的所有整数x的和为$2+0+3-1=4$,因此③不正确.综上所述,正确的结论有①②,共2个.故选C.
∴$x^{2}-1=x^{2}-2x+1$,
∴$x=1$,因此①正确;②$A+4B=2$,即$x^{2}-1+4(x-1)=2$,
∴$x^{2}+4x-7=0$,即$x^{2}-7=-4x$,
∴$x^{2}\neq7$时,$\frac{2024x}{x^{2}-7}=\frac{2024x}{-4x}=-506$,因此②正确;③
∵$\frac{A}{B^{2}}=\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$的值为整数,
∴$x-1=\pm1$或$x-1=\pm2$,解得$x=2$或$x=0$或$x=3$或$x=-1$,
∴满足条件的所有整数x的和为$2+0+3-1=4$,因此③不正确.综上所述,正确的结论有①②,共2个.故选C.
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