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19. 计算:$(-\frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2} ÷ (-\frac{3}{2}a^2b^{-2})^2$.
答案：
原式$=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2}÷\frac{9}{4}a^{4}b^{-4}=b^{6}c^{-2}=\frac{b^{6}}{c^{2}}$.
20. (1)(2024·资阳中考)先化简,再求值:$(\frac{x + 1}{x} - 1) ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$,其中$x = 3$.
(2)(2024·深圳中考改编)先化简,再代入求值:$(1 - \frac{2}{a + 1}) ÷ \frac{a^2 - 2a + 1}{a + 1}$,其中$a = 2$.
(2)(2024·深圳中考改编)先化简,再代入求值:$(1 - \frac{2}{a + 1}) ÷ \frac{a^2 - 2a + 1}{a + 1}$,其中$a = 2$.
答案：
(1)$(\frac{x+1}{x}-1)÷\frac{x^{2}-4}{x^{2}+2x}=\frac{x+1-x}{x}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}=\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x-2}$,当$x=3$时,原式$=\frac{1}{3-2}=1$.
(2)$(1-\frac{2}{a+1})÷\frac{a^{2}-2a+1}{a+1}=\frac{a-1}{a+1}\cdot\frac{a+1}{(a-1)^{2}}=\frac{1}{a-1}$,当$a=2$时,原式$=\frac{1}{2-1}=1$.
方法技巧 解答本题需要先根据异分母分式加减法的计算法则对括号里的算式进行化简,再将分式的除法运算转化为乘法,进行化简,再将x的值代入化简后的式子里计算求值.
(1)$(\frac{x+1}{x}-1)÷\frac{x^{2}-4}{x^{2}+2x}=\frac{x+1-x}{x}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}=\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x-2}$,当$x=3$时,原式$=\frac{1}{3-2}=1$.
(2)$(1-\frac{2}{a+1})÷\frac{a^{2}-2a+1}{a+1}=\frac{a-1}{a+1}\cdot\frac{a+1}{(a-1)^{2}}=\frac{1}{a-1}$,当$a=2$时,原式$=\frac{1}{2-1}=1$.
方法技巧 解答本题需要先根据异分母分式加减法的计算法则对括号里的算式进行化简,再将分式的除法运算转化为乘法,进行化简,再将x的值代入化简后的式子里计算求值.
21. 中考新考法 规律探究 观察下列等式:
①$1 - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{1×2}$;
②$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3×4}$;
③$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{5×6}$;
④$\frac{1}{4} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{7×8}$;
…
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第⑤个等式:______;
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并证明其正确性.
①$1 - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{1×2}$;
②$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3×4}$;
③$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{5×6}$;
④$\frac{1}{4} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{7×8}$;
…
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第⑤个等式:______;
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并证明其正确性.
答案：
(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=-\frac{1}{9×10}$
(2)第n个等式:$\frac{1}{n}-\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=-\frac{1}{2n(2n-1)}$.证明如下:左边$=\frac{2(2n-1)-2n-(2n-1)}{2n(2n-1)}=-\frac{1}{2n(2n-1)}$,右边$=-\frac{1}{2n(2n-1)}$,
∴左边=右边,
∴原式成立.
(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=-\frac{1}{9×10}$
(2)第n个等式:$\frac{1}{n}-\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=-\frac{1}{2n(2n-1)}$.证明如下:左边$=\frac{2(2n-1)-2n-(2n-1)}{2n(2n-1)}=-\frac{1}{2n(2n-1)}$,右边$=-\frac{1}{2n(2n-1)}$,
∴左边=右边,
∴原式成立.
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