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9. (2024·达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工$x$个零件,可列方程为( ).
A.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = 30$
B.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = 30$
C.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = \frac{30}{60}$
D.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$
A.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = 30$
B.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = 30$
C.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = \frac{30}{60}$
D.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$
答案：
D [解析] 设乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,根据题意,得$\frac{120}{x}-\frac{120}{1.2x}=\frac{30}{60}$.故选D.
10. (2024·重庆渝中区巴蜀中学期中)若整数$a使关于x的不等式组\begin{cases}2x - 7 \geq x - 8,\frac{a - 6x}{4} ＞ -2\end{cases} $有且只有3个整数解,且使关于$y的分式方程\frac{a}{y - 3} + \frac{3}{3 - y} = -1的解满足y ＜ 7$,则所有满足条件的整数$a$的值之和为( ).
A.8
B.6
C.10
D.7
A.8
B.6
C.10
D.7
答案：
D [解析] 不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-7\geq x-8,\\ \frac{a-6x}{4}＞-2\end{array}\right.$的解集是$-1\leq x＜\frac{a+8}{6}$.
∵该不等式组有且只有3个整数解,
∴$1＜\frac{a+8}{6}\leq2$,解得$-2＜a\leq4$.分式方程$\frac{a}{y-3}+\frac{3}{3-y}=-1$的解是$y=6-a(y\neq3)$.
∵$y＜7$,即$6-a＜7$,解得$a＞-1$,且$a\neq3$.综上,$-1＜a\leq4$(a为整数),且$a\neq3$,
∴$a=0,1,2,4$,
∴$0+1+2+4=7$.故选D.
∵该不等式组有且只有3个整数解,
∴$1＜\frac{a+8}{6}\leq2$,解得$-2＜a\leq4$.分式方程$\frac{a}{y-3}+\frac{3}{3-y}=-1$的解是$y=6-a(y\neq3)$.
∵$y＜7$,即$6-a＜7$,解得$a＞-1$,且$a\neq3$.综上,$-1＜a\leq4$(a为整数),且$a\neq3$,
∴$a=0,1,2,4$,
∴$0+1+2+4=7$.故选D.
11. (2025·安徽模拟)若分式$\frac{x}{x^2 - 4}$有意义,则$x$的取值范围是______.
答案：
$x\neq\pm2$
12. (2024·甘肃武威期末)若分式$\frac{|x| - 3}{x - 3}$的值为零,则$x = $______.
答案：
-3 [解析]
∵分式$\frac{|x|-3}{x-3}$的值为零,
∴$\left\{\begin{array}{l}|x|-3=0,\\ x-3\neq0,\end{array}\right.$解得$x=-3$.
∵分式$\frac{|x|-3}{x-3}$的值为零,
∴$\left\{\begin{array}{l}|x|-3=0,\\ x-3\neq0,\end{array}\right.$解得$x=-3$.
13. 若$a^2 - 2a - 4 = 0$,则$\frac{a}{a^2 + 3a - 4}$的值为______.
答案：
$\frac{1}{5}$ [解析]
∵$a^{2}-2a-4=0$,
∴$a^{2}-2a=4$,
∴$\frac{a}{a^{2}+3a-4}=\frac{a}{a^{2}-2a+5a-4}=\frac{a}{4+5a-4}=\frac{1}{5}$.
∵$a^{2}-2a-4=0$,
∴$a^{2}-2a=4$,
∴$\frac{a}{a^{2}+3a-4}=\frac{a}{a^{2}-2a+5a-4}=\frac{a}{4+5a-4}=\frac{1}{5}$.
14. 若关于$x的分式方程\frac{2}{x + m} = \frac{3}{x + 3}$有负数解,则$m$的取值范围为______.
答案：
$m＞2$且$m\neq3$ [解析] 去分母,得$2(x+3)=3(x+m)$,解得$x=-3m+6$,由分式方程的解为负数,得$-3m+6＜0$,且$-3m+6\neq-3$且$-3m+6\neq-m$,解得$m＞2$且$m\neq3$.
15. (2025·福建福州晋安区期末)已知$a + \frac{1}{a} = 3$,则$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值是______.
答案：
7 [解析]
∵$a+\frac{1}{a}=3$,
∴$(a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2a×\frac{1}{a}+(\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=9$,则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=9-2=7$.
∵$a+\frac{1}{a}=3$,
∴$(a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2a×\frac{1}{a}+(\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=9$,则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=9-2=7$.
16. (2025·重庆沙坪坝区南开中学期末)如果关于$x的不等式组\begin{cases}\frac{2x + 2}{5} ＞ x + 1,\\2(x - 1) \leq 4x - a\end{cases} $有解且至多有4个整数解,且关于$y的分式方程\frac{2}{1 - y} - 3 = \frac{a}{y - 1}$的解为整数,则所有满足条件的整数$a$的值之和为______.
答案：
-13 [解析] $\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+2}{5}＞x+1①,\\ 2(x-1)\leq4x-a②,\end{array}\right.$由①得$x＜-1$,由②得$x\geq\frac{a-2}{2}$,
∴$\frac{a-2}{2}\leq x＜-1$.
∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+2}{5}＞x+1,\\ 2(x-1)\leq4x-a\end{array}\right.$有解且至多有4个整数解,
∴$-6＜\frac{a-2}{2}＜-1$,$-12＜a-2＜-2$,$-10＜a＜0$.$\frac{2}{1-y}-3=\frac{a}{y-1}$,$-2-3(y-1)=a$,$-2-3y+3=a$,$3y=1-a$,$y=\frac{1-a}{3}$.
∵关于y的分式方程$\frac{2}{1-y}-3=\frac{a}{y-1}$的解为整数且$y\neq1$,
∴$1-a=0$或-3或±6或±9…,解得$a=1$或4或-5或7或-8或10…,
∴符合条件是a的值为-5或-8,
∴所有满足条件的整数a的值之和为$-5-8=-13$.
∴$\frac{a-2}{2}\leq x＜-1$.
∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+2}{5}＞x+1,\\ 2(x-1)\leq4x-a\end{array}\right.$有解且至多有4个整数解,
∴$-6＜\frac{a-2}{2}＜-1$,$-12＜a-2＜-2$,$-10＜a＜0$.$\frac{2}{1-y}-3=\frac{a}{y-1}$,$-2-3(y-1)=a$,$-2-3y+3=a$,$3y=1-a$,$y=\frac{1-a}{3}$.
∵关于y的分式方程$\frac{2}{1-y}-3=\frac{a}{y-1}$的解为整数且$y\neq1$,
∴$1-a=0$或-3或±6或±9…,解得$a=1$或4或-5或7或-8或10…,
∴符合条件是a的值为-5或-8,
∴所有满足条件的整数a的值之和为$-5-8=-13$.
17. (2024·牡丹江中考)若分式方程$\frac{x}{x - 1} = 3 - \frac{mx}{1 - x}$的解为正整数,则整数$m$的值为______.
答案：
-1 [解析] $\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$,化简,得$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$,去分母,得$x=3(x-1)+mx$,移项合并,得$(2+m)x=3$,解得$x=\frac{3}{2+m}$,由方程的解是正整数,得$2+m=1$或$2+m=3$,解得$m=-1$或$m=1$(舍去,会使得分式无意义).
18. 刚放寒假,某书店开始销售《骆驼祥子》《海底两万里》两种书籍,已知销售24本《骆驼祥子》和30本《海底两万里》收入3690元,销售36本《骆驼祥子》和20本《海底两万里》收入3660元.兔年春节过后发现两种书籍均有部分轻度损坏,书店决定对有损坏的书籍进行打8折促销,张老师根据实际需求购买了两种书籍,且每种书籍都既购买了原价版又购买了折扣版,共花费6255元,其中购买《骆驼祥子》打折书籍的本数是购买所有书籍本数的$\frac{1}{5}$,则张老师购买《海底两万里》原价版书籍______本.
答案：
33 [解析] 设《骆驼祥子》的售价为x元,《海底两万里》的售价为y元,则$\left\{\begin{array}{l}24x+30y=3690,\\ 36x+20y=3660,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=60,\\ y=75.\end{array}\right.$设原价购买《骆驼祥子》$a_{1}$本,打折购买《骆驼祥子》$a_{2}$本,原价购买《海底两万里》$b_{1}$本,打折购买《海底两万里》$b_{2}$本,则$\left\{\begin{array}{l}60a_{1}+60×0.8a_{2}+75b_{1}+75×0.8b_{2}=6255,\\ a_{2}=\frac{1}{5}(a_{1}+a_{2}+b_{1}+b_{2}),\end{array}\right.$整理,得$\left\{\begin{array}{l}16a_{2}+5b_{1}+20(a_{1}+b_{2}+b_{1})=2085,\\ 4a_{2}=a_{1}+b_{1}+b_{2},\end{array}\right.$
∴$16a_{2}+5b_{1}+20×4a_{2}=2085$,
∴$5b_{1}+96a_{2}=2085$,得$b_{1}=\frac{2085-96a_{2}}{5}$.
∵$a_{2},b_{1}$均为正整数,且$4a_{2}=a_{1}+b_{1}+b_{2}$,即$4a_{2}＞b_{1}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=5,\\ b_{1}=321\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=10,\\ b_{1}=225\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=15,\\ b_{1}=129\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=20,\\ b_{1}=33.\end{array}\right.$根据未知数的实际意义确定满足题意的一组解
∴$16a_{2}+5b_{1}+20×4a_{2}=2085$,
∴$5b_{1}+96a_{2}=2085$,得$b_{1}=\frac{2085-96a_{2}}{5}$.
∵$a_{2},b_{1}$均为正整数,且$4a_{2}=a_{1}+b_{1}+b_{2}$,即$4a_{2}＞b_{1}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=5,\\ b_{1}=321\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=10,\\ b_{1}=225\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=15,\\ b_{1}=129\end{array}\right.$(舍去)或$\left\{\begin{array}{l}a_{2}=20,\\ b_{1}=33.\end{array}\right.$根据未知数的实际意义确定满足题意的一组解
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