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22.(2024·安徽宿州期中)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^{2}(1 + x) = (1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是____;
(2)分解因式$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{2023}$的结果是____;
(3)利用(2)中结论计算:$5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2023}$.
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^{2}(1 + x) = (1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是____;
(2)分解因式$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{2023}$的结果是____;
(3)利用(2)中结论计算:$5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2023}$.
答案：
(1)提公因式法
(2)$(1+x)^{2024}$ ［解析］原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\cdots+x(x+1)^{2022}]=(1+x)^{2}[1+x+x(x+1)+\cdots+x(x+1)^{2021}]=\cdots=(1+x)^{2024}$.
(3)原式$=\frac{1}{4}×4(5+5^{2}+5^{3}+\cdots+5^{2023})=\frac{1}{4}×(4×5+4×5^{2}+4×5^{3}+\cdots+4×5^{2023})=\frac{1}{4}×(1+4+4×5+4×5^{2}+4×5^{3}+\cdots+4×5^{2023})-\frac{5}{4}=\frac{(1+4)^{2024}}{4}-\frac{5}{4}=\frac{5^{2024}-5}{4}$.
(1)提公因式法
(2)$(1+x)^{2024}$ ［解析］原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\cdots+x(x+1)^{2022}]=(1+x)^{2}[1+x+x(x+1)+\cdots+x(x+1)^{2021}]=\cdots=(1+x)^{2024}$.
(3)原式$=\frac{1}{4}×4(5+5^{2}+5^{3}+\cdots+5^{2023})=\frac{1}{4}×(4×5+4×5^{2}+4×5^{3}+\cdots+4×5^{2023})=\frac{1}{4}×(1+4+4×5+4×5^{2}+4×5^{3}+\cdots+4×5^{2023})-\frac{5}{4}=\frac{(1+4)^{2024}}{4}-\frac{5}{4}=\frac{5^{2024}-5}{4}$.
23.中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下列文字与例题:
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如:
$am + an + bm + bn = (am + bm) + (an + bn) = m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n)$;
$x^{2} - y^{2} - 2y - 1 = x^{2} - (y^{2} + 2y + 1) = x^{2} - (y + 1)^{2} = (x + y + 1)(x - y - 1)$.
(1)试用上述方法分解因式:
$a^{2} + 2ab + ac + bc + b^{2} = $____;
(2)利用分解因式说明:$(n + 5)^{2} - (n - 1)^{2}$能被12整除.
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如:
$am + an + bm + bn = (am + bm) + (an + bn) = m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n)$;
$x^{2} - y^{2} - 2y - 1 = x^{2} - (y^{2} + 2y + 1) = x^{2} - (y + 1)^{2} = (x + y + 1)(x - y - 1)$.
(1)试用上述方法分解因式:
$a^{2} + 2ab + ac + bc + b^{2} = $____;
(2)利用分解因式说明:$(n + 5)^{2} - (n - 1)^{2}$能被12整除.
答案：
(1)$(a+b)(a+b+c)$
(2)$(n+5)^{2}-(n-1)^{2}=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2)$.
∵$12(n+2)$能被12整除，
∴$(n+5)^{2}-(n-1)^{2}$能被12整除.
(1)$(a+b)(a+b+c)$
(2)$(n+5)^{2}-(n-1)^{2}=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2)$.
∵$12(n+2)$能被12整除，
∴$(n+5)^{2}-(n-1)^{2}$能被12整除.
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