《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

23. (2025·内蒙古呼伦贝尔期末)如图,$BP,CP分别是△ABC$的一个内角及一个外角的平分线,$PQ⊥AC$,垂足为$Q$,连接$AP$.
(1)若$∠BAC= 60^{\circ}$,求$∠PAC$的度数;
(2)设$BC= a,AC= b,AB= c$,求线段$AQ,CQ$的长度(用含$a,b,c$的式子表示).

答案：
(1)如图,过点P作PE⊥BD,垂足为E,过点P作PF⊥BA,交BA的延长线于点F.
∵BP平分∠ABE,
∴PE=PF.
∵CP平分∠ACE,PQ⊥AC,
∴PQ=PE,
∴PQ=PF,
∴AP平分∠CAF.
∵∠BAC=60°,
∴∠FAC=180°−∠BAC=120°,
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠FAC=60°.
(2)在Rt△AFP和Rt△AQP中,PF=PQ,AP=AP,
∴Rt△AFP≌Rt△AQP(HL),
∴AQ=AF.在Rt△CQP和Rt△CEP中,PQ=PE,PC=PC,
∴Rt△CQP≌Rt△CEP(HL),
∴CQ=CE.在Rt△BFP和Rt△BEP中,PF=PE,BP=BP,
∴Rt△BFP≌Rt△BEP(HL),
∴BF=BE.设AQ=AF=x,则CQ=CE=AC−AQ=b−x,
∴BF=AB+AF=c+x,BE=BC+CE=a+b−x,
∴c+x=a+b−x,
∴x=$\frac{a+b−c}{2}$,
∴AQ=$\frac{a+b−c}{2}$,CQ=b−$\frac{a+b−c}{2}$=$\frac{b−a+c}{2}$.

24. 如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ},BD是∠ABC$的平分线,$DE⊥AB于点E$,点$F在BC$上,连接$DF$,且$AD= DF$.
(1)求证:$CF= AE$;
(2)若$AE= 3,BF= 4$,求$AB$的长.

答案：
(1)
∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠AED=90°,DE=DC.在Rt△CDF与Rt△EDA中,DC=DE,DF=DA,
∴Rt△CDF≌Rt△EDA(HL),
∴CF=AE.
(2)
∵CF=AE,AE=3,
∴CF=3.
∵BF=4,
∴BC=BF+CF=4+3=7.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∵∠C=90°,
∴∠DEB=∠C.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠CBD.在△BED和△BCD中,∠DEB=∠DCB,∠EBD=∠CBD,BD=BD,
∴△BED≌△BCD(AAS),
∴BE=BC=7,
∴AB=BE+AE=7+3=10.