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25.传统文化 “杨辉三角”(2025·福建泉州期末改编)八年级数学兴趣小组成员在数学教材中查阅到了一位杰出的数学家,他们决定对其的发现展开微项目探索,请你跟随探索脚步,根据素材,完成[任务规划][项目成效].
[驱动问题]探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘.
[核心概念]
素材1:杨辉是我国南宋时期杰出的数学家,在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图(1),源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”,我们把这个表叫做“杨辉三角”.
素材2:我们知道,$(a+b)^{1}= a+b,(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$.利用多项式的乘法运算,还可以得到:$(a+b)^{3}= (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$.当$a+b≠0$时,将计算结果中多项式(以a降次排序)各项的系数排列成表,可得到图(2).
[任务规划]
(1)任务:请根据素材1和素材2直接写出:
①$(a+b)^{4}展开式中a^{3}b$的系数是____;
②$(a+b)^{10}$展开式中所有项的系数和为____;
[项目成效]
(2)成果展示:若$(2x-1)^{2025}= a_{1}x^{2025}+a_{2}x^{2024}+a_{3}x^{2023}+... +a_{2024}x^{2}+a_{2025}x+a_{2026}$,求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+... +a_{2024}+a_{2025}$的值.
[驱动问题]探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘.
[核心概念]
素材1:杨辉是我国南宋时期杰出的数学家,在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图(1),源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”,我们把这个表叫做“杨辉三角”.
素材2:我们知道,$(a+b)^{1}= a+b,(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$.利用多项式的乘法运算,还可以得到:$(a+b)^{3}= (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$.当$a+b≠0$时,将计算结果中多项式(以a降次排序)各项的系数排列成表,可得到图(2).
[任务规划]
(1)任务:请根据素材1和素材2直接写出:
①$(a+b)^{4}展开式中a^{3}b$的系数是____;
②$(a+b)^{10}$展开式中所有项的系数和为____;
[项目成效]
(2)成果展示:若$(2x-1)^{2025}= a_{1}x^{2025}+a_{2}x^{2024}+a_{3}x^{2023}+... +a_{2024}x^{2}+a_{2025}x+a_{2026}$,求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+... +a_{2024}+a_{2025}$的值.
答案：
(1)①4 ②2¹⁰ [解析]根据已知可得,(a+b)¹展开式中所有项的系数和为1+1=2¹,(a+b)²展开式中所有项的系数和为1+2+1=2²,(a+b)³展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=2³,(a+b)⁴展开式中所有项的系数和为1+4+6+4+1=16=2⁴,…,则(a+b)¹⁰展开式中所有项的系数和为2¹⁰.
(2)
∵(2x-1)²⁰²⁵=a₁x²⁰²⁵+a₂x²⁰²⁴+a₃x²⁰²³+…+a₂₀₂₄x²+a₂₀₂₅x+a₂₀₂₆,
∴当x=0时,a₂₀₂₆=(-1)²⁰²⁵=-1,当x=1时,a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₄+a₂₀₂₅+a₂₀₂₆=1,
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₄+a₂₀₂₅=2.
(1)①4 ②2¹⁰ [解析]根据已知可得,(a+b)¹展开式中所有项的系数和为1+1=2¹,(a+b)²展开式中所有项的系数和为1+2+1=2²,(a+b)³展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=2³,(a+b)⁴展开式中所有项的系数和为1+4+6+4+1=16=2⁴,…,则(a+b)¹⁰展开式中所有项的系数和为2¹⁰.
(2)
∵(2x-1)²⁰²⁵=a₁x²⁰²⁵+a₂x²⁰²⁴+a₃x²⁰²³+…+a₂₀₂₄x²+a₂₀₂₅x+a₂₀₂₆,
∴当x=0时,a₂₀₂₆=(-1)²⁰²⁵=-1,当x=1时,a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₄+a₂₀₂₅+a₂₀₂₆=1,
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₄+a₂₀₂₅=2.
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