《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

26. (12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,直线 $y = 2x + b$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$,$B$,$S_{\triangle AOB} = 4$,$C(3,m)$ 是直线 $AB$ 上一点,在直线 $AB$ 左侧过点 $C$ 的直线交 $y$ 轴于点 $D$,交 $x$ 轴于点 $E$.
(1) 求 $m$ 和 $b$ 的值;
(2) 当 $\angle ACD = 45^{\circ}$ 时,求直线 $CD$ 的解析式;
(3) 如图 2,在(2)的条件下,过点 $C$ 作 $CM \perp x$ 轴,在直线 $AC$ 上一点 $P$,直线 $CD$ 上一点 $Q$,直线 $CM$ 上一点 $H$,当四边形 $AHQP$ 为菱形时,求点 $P$ 的坐标.

答案：
【解】
(1)
∵直线 $y = 2x + b$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，
∴$B(0,b)$，$A(-\frac{b}{2},0)$。
∵$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB = 4$，
∴$\frac{1}{2}\times(-\frac{b}{2})\times(-b) = 4$，解得 $b = -4$ 或 $b = 4$ (舍去)，
∴$b$ 的值为 $-4$，
∴直线 $AB$ 的解析式为 $y = 2x + b = 2x - 4$。
∵$C(3,m)$ 是直线 $AB$ 上一点，
∴$m = 2\times3 - 4 = 2$。
(2)
∵$b$ 的值为 $-4$，$m$ 的值为 $2$，
∴$B(0,-4)$，$A(2,0)$，$C(3,2)$。
如图 1，过点 $A$ 作 $AM\perp CD$ 于点 $M$，过点 $M$ 作 $MR\perp x$ 轴于点 $R$，过点 $C$ 作 $CT\perp MR$ 于点 $T$，设 $M(q,n)$。

∴$\angle ARM=\angle MTC = 90^{\circ}$，$\angle AMC = 90^{\circ}$。
∵$\angle ACD = 45^{\circ}$，$\angle AMR+\angle MAR=\angle AMR+\angle CMT = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD=\angle CAM = 45^{\circ}$，$\angle MAR=\angle CMT$，
∴$AM = MC$，
∴$\triangle AMR\cong\triangle MCT(AAS)$，
∴$AR = MT = 2 - q = 2 - n$，$MR = CT = n = 3 - q$，
∴$n=\frac{3}{2}$，$q=\frac{3}{2}$，
∴$M(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。
设直线 $CD$ 的解析式为 $y = rx + t$，
则有 $\begin{cases}\frac{3}{2}r + t=\frac{3}{2},\\3r + t = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}r=\frac{1}{3},\\t = 1,\end{cases}$
∴直线 $CD$ 的解析式为 $y=\frac{1}{3}x + 1$。
(3)如图 2，设 $P(p,2p - 4)$。

∵$A(2,0)$，$CM\perp x$ 轴，点 $H$ 在直线 $CM$ 上，
∴点 $H$ 的横坐标为 $3$。
∵四边形 $AHQP$ 为菱形，
∴$Q(p + 1,\frac{1}{3}p+\frac{4}{3})$，$H(3,\frac{16}{3}-\frac{5}{3}p)$，$AP = AH$，
∴$(p - 2)^{2}+(2p - 4)^{2}=(3 - 2)^{2}+(\frac{16}{3}-\frac{5}{3}p)^{2}$，
解得 $p=\frac{1 + 3\sqrt{2}}{2}$ 或 $p=\frac{1 - 3\sqrt{2}}{2}$，
∴点 $P$ 的坐标为 $(\frac{1 + 3\sqrt{2}}{2},3\sqrt{2}-3)$ 或 $(\frac{1 - 3\sqrt{2}}{2},-3\sqrt{2}-3)$。