《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (7 分) 如图,在梯形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $,点 $ F $, $ E $ 分别在线段 $ BC $, $ AC $ 上,且 $ \angle FAC = \angle ADE $, $ AC = AD $.
(1) 求证: $ DE = AF $;
(2) 若 $ \angle ABC = \angle CDE $,求证: $ AF^2 = BF \cdot CE $.

答案：
(1)【证明】
∵$AD// BC$，
∴$∠ACF = ∠DAC$。
∵$∠FAC = ∠ADE$，$AC = AD$，
∴$△ACF\cong △DAE(ASA)$，
∴$AF = DE$。
(2)
∵$△ACF\cong △DAE$，
∴$∠AFC = ∠DEA$，
∴$∠AFB = ∠DEC$；
∵$∠ABC = ∠CDE$，
∴$△ABF\backsim △CDE$，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，
∴$AF\cdot DE = BF\cdot CE$。
∵$AF = DE$，
∴$AF^{2} = BF\cdot CE$。