《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

26. (12 分) $ 1:\sqrt{2} $ 是一个很有趣的比. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^\circ $, $ AC = BC $,在 $ AB $ 上截取点 $ D $,使 $ AD = AC $,则 $ AD:AB = 1:\sqrt{2} $,我们称 $ D $ 为 $ AB $ 的“趣点”.
(1) 若 $ E $ 为 $ AC $ 的“趣点” ($ CE ＜ AE $),连接 $ DE $.
① 求证: $ \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} $;
② 在 $ AB $ 上方构造 $ \triangle EDF $,使 $ \triangle EDF \sim \triangle CDB $,设 $ EF $ 交 $ CB $ 于点 $ Q $,试探究: $ Q $ 是否为 $ BC $ 的“趣点”? 说明理由.
(2) 把(1)中的点 $ E $ 移动到与点 $ A $ 重合,②中条件不变,请在备用图中画出图形,若 $ AB = 6 $,求 $ CD \cdot QF $ 的值.

答案：

(1)①【证明】
∵$D$为线段$AB$的“趣点”，$E$为线段$AC$的“趣点”（$CE ＜ AE$），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
又
∵$∠A = ∠A$，
∴$△ADE\backsim △ABC$，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}$。
②【解】$Q$是线段$BC$的“趣点”。理由如下：
如图1，连接$DQ$。

∵$∠ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，
∴$∠A = ∠B = 45^{\circ}$。
∵$AC = AD$，
∴$∠2 = ∠ADC=\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$，
∴$∠3 = 90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。
∵$△EDF\backsim △CDB$，
∴$∠4 = ∠3 = 22.5^{\circ}$。
∵$△ADE\backsim △ABC$，
∴$∠1 = ∠B = 45^{\circ}$，
∴$DE// BC$，
∴$∠6 = ∠4 = 22.5^{\circ}$，$∠5 = ∠3 = 22.5^{\circ}$，
∴$∠3 = ∠6$，$∠4 = ∠5$，
∴$MQ = MC$，$ME = MD$。
∵$DE// BC$，
∴$∠7 + ∠4 = ∠ACB = 90^{\circ}$，
∴$∠7 = 90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}=∠2$，
∴$MC = ME$，
∴$MC = MD = ME = MQ$，
∴四边形$CEDQ$是平行四边形，
∴$DQ// AC$，
∴$\frac{CQ}{CB}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$Q$是为线段$BC$的“趣点”。
(2)【解】如图2，连接$DQ$。

∵$△ADF\backsim △CDB$，
∴$∠4 = ∠3 = 22.5^{\circ}$，$∠F = ∠B = 45^{\circ}$，
∴$∠8 = 45^{\circ}-22.5^{\circ}=22.5^{\circ}=∠4$。
在$△ADQ$和$△ACQ$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AC,\\∠4 = ∠8,\\AQ = AQ,\end{array}\right.$
∴$△ADQ\cong △ACQ(SAS)$，
∴$∠ADQ = ∠ACQ = 90^{\circ}=∠BDQ$。
∵$∠10 = ∠F + ∠4 = 45^{\circ}+22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
∴$∠9 = 90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$，
∴$∠9 = ∠3$。
又
∵$∠F = ∠B$，
∴$△DQF\backsim △CDB$，
∴$\frac{QF}{DB}=\frac{QD}{DC}$。
∵$∠BDQ = 90^{\circ}$，$∠B = 45^{\circ}$，
∴$DB = QD = 6 - 3\sqrt{2}$，
∴$\frac{QF}{6 - 3\sqrt{2}}=\frac{6 - 3\sqrt{2}}{DC}$，
∴$CD\cdot QF=(6 - 3\sqrt{2})^{2}=54 - 36\sqrt{2}$。