《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

18. (10 分) 阅读下列材料:
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法,我们已经学习了用配方法解一元二次方程,并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式. 其实配方法还有很多重要的应用. 例如,我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件,如下面的例子.
例: 求多项式 $ 2x^2 - 8x + 1 $ 的最小值.
解: $ 2x^2 - 8x + 1 = 2(x^2 - 4x) + 1 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = 2(x - 2)^2 - 7 $.
$ \because (x - 2)^2 \geq 0 $, $ \therefore 2(x - 2)^2 - 7 \geq -7 $,
$ \therefore $ 多项式的最小值为 $ -7 $,此时, $ x = 2 $.
仿照上面的方法,解决下面的问题:
(1) 当 $ x = $ ______ 时,多项式 $ -x^2 - 4x + 3 $ 有最 ______ 值,是 ______;
(2) 若代数式 $ M = 2x^2 - 3y^2 - x - 1 $, $ N = x^2 - 3y^2 + x - 4 $,试比较 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系;
(3) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ BC = a $,高 $ AD = b $,矩形 $ EFGH $ 的四个顶点分别在三角形的三边上,设 $ HE = x $,矩形 $ EFGH $ 的面积为 $ S $,用含有 $ x $, $ a $, $ b $ 的代数式表示 $ S $,并求出当 $ x $ 的值为多少时, $ S $ 的值最大,并判断此时 $ S $ 与 $ \triangle ABC $ 面积的关系.

答案： 【解】
(1)$-x^{2}-4x + 3 = -(x^{2} + 4x + 4 - 4 - 3) = -(x + 2)^{2} + 7$。
∵$-(x + 2)^{2}≤0$，
∴$-(x + 2)^{2} + 7≤7$，
∴当$x = -2$时，多项式$-x^{2}-4x + 3$有最大值，是$7$。
故答案为$-2$；大；$7$。
(2)$M - N = (2x^{2}-3y^{2}-x - 1)-(x^{2}-3y^{2}+x - 4) = x^{2}-2x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$。
∵$(x - 1)^{2}≥0$，
∴$(x - 1)^{2} + 2＞0$，
∴$M - N＞0$，
∴$M＞N$。
(3)
∵四边形$EFGH$是矩形，
∴$HG// EF$，
∴$HG// BC$，
∴$△AHG\backsim △ABC$。
∵四边形$EFGH$是矩形，
∴$HE = GF = x$。
∵$AD⊥BC$，
∴$AK⊥HG$，
∴$\frac{HG}{BC}=\frac{AK}{AD}$，即$\frac{HG}{a}=\frac{b - x}{b}$，
∴$HG = a-\frac{a}{b}x$，
∴$S = EH\cdot HG = x(a-\frac{a}{b}x)=-\frac{a}{b}x^{2}+ax$，
∴$S = -\frac{a}{b}(x^{2}-bx)=-\frac{a}{b}(x-\frac{b}{2})^{2}+\frac{1}{4}ab$。
∵$(x-\frac{b}{2})^{2}≥0$，
∴$-\frac{a}{b}(x-\frac{b}{2})^{2}≤0$，
∴$-\frac{a}{b}(x-\frac{b}{2})^{2}+\frac{1}{4}ab≤\frac{1}{4}ab$，
即$S≤\frac{1}{4}ab$。
∴当$x = \frac{b}{2}$时，矩形的面积最大，最大面积是$\frac{1}{4}ab=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。

19. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中, $ AD ＞ AB $, $ AB = 2 $. 点 $ E $ 在矩形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 上,连接 $ AE $,将矩形 $ ABCD $ 沿 $ AE $ 翻折,翻折后的点 $ B $ 落在边 $ AD $ 上的点 $ F $ 处,得到矩形 $ CDFE $. 若矩形 $ CDFE $ 与原矩形 $ ABCD $ 相似,则 $ AD $ 的长为 ______.

答案： $1+\sqrt{5}$