《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

16. (7分)如图,一次函数$y= ax+b的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象相交于A$,$B$两点,其中点$A的坐标为(-2,3)$,点$B的坐标为(3,n)$.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出关于$x的不等式ax+b\lt\frac{k}{x}$的解集.

答案： 【解】
(1)
∵一次函数$y = ax + b$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交于$A$，$B$两点，其中点$A$的坐标为$(-2, 3)$，点$B$的坐标为$(3, n)$，
∴$k = -2 \times 3 = 3 \times n$，
∴$k = -6$，$n = -2$，
∴该反比例函数的解析式为$y = -\frac{6}{x}$。
∵点$A(-2, 3)$，$B(3, -2)$在一次函数$y = ax + b$的图象上，
∴$\begin{cases}-2a + b = 3 \\ 3a + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 1\end{cases}$，
∴该一次函数的解析式为$y = -x + 1$。
(2)由图象可知，关于$x$的不等式$ax + b ＜ \frac{k}{x}$的解集为$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 3$。

17. (8分)如图,一次函数$y= \frac{1}{2}x+2的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\gt0)的图象交于点A$,与$y轴交于点B$.已知点$A$的纵坐标为6.
(1)求$k$的值;
(2)点$P$在反比例函数的图象上,点$Q在x$轴上,若以点$A$,$B$,$P$,$Q$为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点$P$的坐标.

答案： 【解】
(1)当$y = 6$时，即$y = \frac{1}{2}x + 2 = 6$，解得$x = 8$，即点$A(8, 6)$。
将点$A$的坐标代入反比例函数表达式，得$6 = \frac{k}{8}$，解得$k = 48$。
(2)由
(1)知，反比例函数的表达式为$y = \frac{48}{x}$，
设点$P(x, \frac{48}{x})$。
由题易得点$B(0, 2)$。设点$Q$的坐标为$(a, 0)$。
当$AB$是对角线时，由中点坐标公式，得$6 + 2 = \frac{48}{x}$，解得$x = 6$，即点$P(6, 8)$；
当$AP$是对角线时，由中点坐标公式，得$6 + \frac{48}{x} = 2$，解得$x = -12$（此时点$A$，$B$，$P$，$Q$共线舍去）；
当$AQ$是对角线时，由中点坐标公式，得$6 = \frac{48}{x} + 2$，解得$x = 12$，即点$P(12, 4)$。
综上，点$P$的坐标为$(6, 8)$或$(12, 4)$。