《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (6 分)先化简,再求值:$ (1 - x+\frac{2x - 1}{x + 1})÷\frac{x - 2}{x^{2}+2x + 1} $,其中$ x 的值是一元二次方程 x^{2}-2x - 3 = 0 $的解.

答案： 【解】$\left(1 - x + \frac{2x - 1}{x + 1}\right) \div \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}$
$= \frac{(1 - x)(1 + x) + 2x - 1}{x + 1} \div \frac{x - 2}{(x + 1)^2}$
$= \frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2} = \frac{-x^2 + 2x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2} = \frac{-x(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$= -x(x + 1) = -x^2 - x$。
$\because x^2 - 2x - 3 = 0$，$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
$\because$分母$\neq 0$，$\therefore x = 3$，
$\therefore$原式$= -x^2 - x = -9 - 3 = -12$。