《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

26. (12 分)请阅读下列材料:
已知方程$ x^{2}+x - 1 = 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解:设所求方程的根为$ y $,则$ y = 2x $,所以$ x = \frac{y}{2} $,把$ x = \frac{y}{2} $代入已知方程,得$ (\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0 $,化简,得$ y^{2}+2y - 4 = 0 $,故所求方程为$ y^{2}+2y - 4 = 0 $,这种利用方程的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程$ x^{2}+x - 2 = 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为____;
(2)已知方程$ 2x^{2}-7x + 3 = 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数;
(3)已知关于$ x 的一元二次方程 ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $的两个实数根分别为 3,-2,求一元二次方程$ ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0 $的两根.(直接写出结果)

答案：
(1)【解】设所求方程的根是$y$，则 $ y = -x $，$\therefore x = -y$。
把$x = -y$代入$x^2 + x - 2 = 0$，得 $ y^2 - y - 2 = 0 $。
(2)【解】设所求方程的根是$y$，则 $ y = \frac{1}{x} $，$\therefore x = \frac{1}{y}$。
把$x = \frac{1}{y}$代入方程$2x^2 - 7x + 3 = 0$，得 $ 2\left(\frac{1}{y}\right)^2 - 7 \cdot \frac{1}{y} + 3 = 0 $，
化简，得 $ 3y^2 - 7y + 2 = 0 $。
(3)【解】一元二次方程整理后，得 $ a(y - 1)^2 + b(y - 1) + c = 0 $。
$\because$令 $ y - 1 = x $，$\therefore y = x + 1$，
则方程$a(y - 1)^2 + b(y - 1) + c = 0$的两根比$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$两根大1，
$\therefore$方程$a(y - 1)^2 + b(y - 1) + c = 0$的两根分别是4，-1。