《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

24. (每小题 4 分,共 8 分)
(1)已知$ x 是一元二次方程 x^{2}-4x + 3 = 0 $的根,求代数式$ \frac{x - 3}{3x^{2}-6x}÷(x + 2-\frac{5}{x - 2}) $的值.
(2)已知$ x^{2}+xy + y = 12,y^{2}+xy + x = 18 $,求代数式$ 3x^{2}+3y^{2}-2xy + x + y $的值.

答案：
(1)【解】$\frac{x - 3}{3x^2 - 6x} \div \left(x + 2 - \frac{5}{x - 2}\right)$
$= \frac{x - 3}{3x(x - 2)} \div \frac{(x + 2)(x - 2) - 5}{x - 2}$
$= \frac{x - 3}{3x(x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(x + 3)(x - 3)}$
$= \frac{1}{3x^2 + 9x}$，
$\because x$是一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的根，
解得 $ x_1 = 1 $，$x_2 = 3$。
$\therefore$当$x = 1$时，原式$= \frac{1}{3 + 9} = \frac{1}{12}$。
当$x = 3$时，$x + 2 - \frac{5}{x - 2} = 0$，不符合题意，舍去。
综上所述，代数式$\frac{x - 3}{3x^2 - 6x} \div \left(x + 2 - \frac{5}{x - 2}\right)$的值为$\frac{1}{12}$。
(2)【解】由$\begin{cases}x^2 + xy + y = 12, ① \\ y^2 + xy + x = 18, ②\end{cases}$
① - ②，得$(x - y)(x + y - 1) = -6$，③
① + ②，得$(x + y)^2 + (x + y) = 30$，
$\therefore (x + y + 6)(x + y - 5) = 0$，
$\therefore x + y = -6$或$x + y = 5$。
将$x + y = -6$代入③，得 $ x - y = \frac{6}{7} $；
将$x + y = 5$代入③，得 $ x - y = -\frac{3}{2} $。
由① + ②，得 $ x^2 + y^2 + 2xy + x + y = 30 $，$\therefore x^2 + y^2 + x + y = 30 - 2xy$，
$\therefore$原式$= x^2 + y^2 + x + y + 2x^2 + 2y^2 - 2xy$
$= (30 - 2xy) + 2x^2 + 2y^2 - 2xy$
$= 30 + 2(x - y)^2$，
$\therefore$原式$= 30 + 2 \times \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{1542}{49}$或原式$= 30 + 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{69}{2}$。