《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

18. (10 分)如图,在 $\square ABCD$ 中,$AD = 9\mathrm{cm}$,$CD = 3\sqrt{2}\mathrm{cm}$,$\angle B = 45^{\circ}$,点 $M$,$N$ 分别以 $A$,$C$ 为起点,以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $AD$,$CB$ 边运动,设点 $M$,$N$ 运动的时间为 $t\mathrm{s}(0 \leq t \leq 9)$.
(1) 求 $BC$ 边上高 $AE$ 的长度;
(2) 连接 $AN$,$CM$,当 $t$ 为何值时,四边形 $AMCN$ 为菱形?
(3) 作 $MP \perp BC$ 于点 $P$,$NQ \perp AD$ 于点 $Q$,当 $t$ 为何值时,四边形 $MPNQ$ 为正方形?

答案：

(1)【解】
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$AB=CD = 3\sqrt{2}cm$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，
∵$\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，
∴$AE = AB\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3(cm)$。
(2)
∵点 $M$，$N$ 分别以 $A$，$C$ 为起点，以 $1cm/s$ 的速度沿 $AD$，$CB$ 边运动，点 $M$，$N$ 运动的时间为 $t s(0\leqslant t\leqslant9)$，
∴$AM = CN = t$。
∵$AM// CN$，
∴四边形 $AMCN$ 为平行四边形，
∴当 $AN = AM$ 时，四边形 $AMCN$ 为菱形。
∵$BE = AE = 3$，
∴$EN = 6 - t$，
∴$AN^{2}=3^{2}+(6 - t)^{2}$，
∴$3^{2}+(6 - t)^{2}=t^{2}$，解得 $t=\frac{15}{4}$。
故当 $t$ 为 $\frac{15}{4}s$ 时，四边形 $AMCN$ 为菱形。
(3)如图，
∵$MP\perp BC$ 于点 $P$，$NQ\perp AD$ 于点 $Q$，$QM// NP$，
∴四边形 $MPNQ$ 为矩形，

∴当 $QM = QN$ 时，四边形 $MPNQ$ 为正方形。
∵$AM = CN = t$，$BE = 3$，
∴$AQ = EN = BC - BE -CN = 9 - 3 - t = 6 - t$，
∴$QM = AM - AQ=\vert t-(6 - t)\vert=\vert 2t - 6\vert$（注：分点 $Q$ 在点 $M$ 的左右两种情况）。
∵$QN = AE = 3$，
∴$\vert 2t - 6\vert = 3$，解得 $t = 4.5$ 或 $t = 1.5$。
故当 $t$ 为 $4.5s$ 或 $1.5s$ 时，四边形 $MPNQ$ 为正方形。

19. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$AD = 4$,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$DC$ 上的动点,$EF // BC$,则 $AF + CE$ 的最小值是____.

答案： $8\sqrt{2}$