《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

25. (10 分)某商店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个 30 元的价格进货,经过市场调查,发现:当每个背包的售价为 40 元时,月均销量为 280 个,每个售价每增长 2 元,月均销量就相应减少 20 个.
(1)若使这种背包的月均销量不低于 130 个,每个背包售价应不高于多少元?
(2)在(1)的条件下,当这种背包销售单价为多少元时,销售利润是 3120 元?
(3)这种背包的销售利润有可能达到 3700 元吗? 若能,请求出此时的销售单价;若不能,请说明理由.

答案：
(1)【解】设每个背包的售价为$x$元，则月均销量为$\left(280 - \frac{x - 40}{2} \times 20\right)$个。
根据题意，得 $ 280 - \frac{x - 40}{2} \times 20 \geq 130 $，解得 $ x \leq 55 $，
即每个背包售价应不高于55元。
(2)根据题意，得$(x - 30)\left(280 - \frac{x - 40}{2} \times 20\right) = 3120$，
整理，得 $ x^2 - 98x + 2352 = 0 $，解得 $ x_1 = 42 $，$x_2 = 56$（不合题意，舍去），
即当这种背包销售单价为42元时，销售利润是3120元。
(3)依题意，得$(x - 30)\left(280 - \frac{x - 40}{2} \times 20\right) = 3700$。
整理，得 $ x^2 - 98x + 2410 = 0 $。
$\because \Delta = (-98)^2 - 4 \times 1 \times 2410 = -36 ＜ 0$，
$\therefore$该方程无解，
即这种背包的销售利润不能达到3700元。