《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (8分)为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度,小军同学采取了如下方法:在地面上点C处平放一面镜子,并在镜子上做一个标记,然后人向后退,直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合(如图所示),其中B,C,D三点在同一条直线上.已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m,BC和CD的长分别为40m和1m,求建筑物AB的高度.(说明:由物理知识可知,$∠ECF= ∠ACF$)

答案： 【解】由题意，得$\angle ABC = \angle EDC = 90^{\circ}$，$\angle ACB = \angle ECD$，
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle EDC$，则$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC}$。
$\because$ 小军的眼睛距离地面的高度$ED$的长约为$1.75m$，$BC$和$CD$的长分别为$40m$和$1m$，
$\therefore \frac{AB}{1.75} = \frac{40}{1}$，解得$AB = 70$。
答：这座建筑物的高度为$70m$。

16. (10分)如图,点D,E,F分别在$△ABC$三边上,且$DE// BC,EF// AB,BD= 3AD,BC= 8$.
(1)求CF的长;
(2)若$△ADE$的面积为4,求四边形BDEF的面积.

答案： 【解】
(1)$\because DE // BC$，$\therefore \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$。
$\because EF // AB$，$\therefore \frac{AE}{AC} = \frac{BF}{BC} = \frac{1}{4}$。
$\because BC = 8$，
$\therefore BF = \frac{1}{4}BC = 2$，
$\therefore CF = BC - BF = 6$。
(2)$\because DE // BC$，$\therefore \angle AED = \angle C$。
$\because EF // AB$，$\angle A = \angle FEC$，$\therefore \triangle ADE \sim \triangle EFC$。
$\therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle EFC}} = (\frac{AE}{EC})^{2} = \frac{1}{9}$，$\therefore S_{\triangle EFC} = 9S_{\triangle ADE} = 9 \times 4 = 36$。
$\because DE // BC$，$\therefore \angle ADB = \angle B$，且$\angle A = \angle A$，
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$，
$\therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{AD}{AB})^{2} = \frac{1}{16}$，$\therefore S_{\triangle ABC} = 16S_{\triangle ADE} = 64$，
$\therefore S_{四边形HDEF} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ADE} - S_{\triangle EFC} = 24$。