《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

18. (10 分)如图 1,在$//ogram ABCD$中,E,F 分别为 AB,CD 的中点,连接 AF,CE.
(1)求证:$AF// CE$.
(2)如图 2,连接 AC,且$AC= BC$,O 为 AC 的中点.
①M 为 BC 的中点,连接 EO,EM,试判断四边形 EMCO 的形状,并说明理由;
②如图 3,AG 平分$∠BAC$交 CE 于点 G,连接 GO,若$∠AGO= 90^{\circ },AB= 8$,求 AC 的长.

答案：

(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\therefore AB = CD,AB// CD$。
$\because E,F$ 分别为 $AB,CD$ 的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD,\therefore AE = CF$。
$\therefore$ 四边形 $AECF$ 为平行四边形，$\therefore AF// CE$。
(2)【解】①四边形 $EMCO$ 为菱形。理由如下：
$\because O$ 为 $AC$ 的中点，$E$ 为 $AB$ 的中点，
$\therefore OE$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，$\therefore OE// BC,OE=\frac{1}{2}BC$。
$\because E$ 为 $AB$ 的中点，$M$ 为 $BC$ 的中点，
$\therefore EM// AC,EM=\frac{1}{2}AC,\therefore$ 四边形 $EMCO$ 为平行四边形。
$\because AC = BC,\therefore EO = EM$，
$\therefore$ 四边形 $EMCO$ 为菱形。
②如图，过点 $O$ 作 $OH\perp EC$ 于点 $H$，过点 $G$ 作 $GM\perp AC$ 于点 $M$。

$\because AC = BC$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore CE\perp AB,AE=\frac{1}{2}AB = 4$。
$\because AG$ 平分 $\angle BAC$ 交 $CE$ 于点 $G,\therefore \angle GAE=\angle GAC$。
$\because GM\perp AC,GE\perp AB,\therefore GE = GM$。
在 $Rt\triangle AEG$ 和 $Rt\triangle AMG$ 中，$\left\{\begin{array}{l}AG = AG,\\GE = GM,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AEG\cong Rt\triangle AMG(HL),\therefore AE = AM = 4$。
$\because CE\perp AE,OH\perp EC,\therefore OH// AE$。
$\because O$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore OH=\frac{1}{2}AE = 2$。
$\because \angle AGO = 90^{\circ},\therefore \angle AGE+\angle OGC = 90^{\circ},\angle AGM+\angle OGM = 90^{\circ}$。
$\because Rt\triangle AEG\cong Rt\triangle AMG,\therefore \angle AGE=\angle AGM$，
$\therefore \angle OGM=\angle OGH$。
$\because OM\perp GM,OH\perp GH,\therefore OM = OH = 2,\therefore OA = AM + OM = 6$。
$\because O$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore AC = 2OA = 12$。