《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

7. 下列命题是假命题的是 ()
A. 有一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有三个角是直角的四边形是矩形

答案： B

8. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 2,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$E$ 是 $AC$ 延长线上一点,且 $OE = 2CO$,则 $BE$ 的长度是 ()

A. $\sqrt{10}$
B. $2\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $3\sqrt{2}$

答案： A

9. 已知菱形的边长为 6,一个内角为 $60^{\circ}$,则菱形较短的对角线长是____.

答案： 6

10. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,点 $P$ 在对角线 $BD$ 上,$PE \perp AB$,垂足为 $E$,$PE = 5$,则点 $P$ 到 $BC$ 的距离是____.

答案： 5

11. 如图,已知矩形 $ABCD$,$AB:AD = 2:3$,若 $\angle BAD$ 的平分线与 $BC$ 交于点 $E$,则 $BE:EC = $____.

答案： $2:1$

12. 如图,已知四边形 $ABCD$,$AD$ 与 $BC$ 不平行,$AB = CD$,$E$,$F$,$G$,$H$ 分别是 $BD$,$BC$,$AC$,$AD$ 的中点,有下列结论:①$EG \perp HF$;②$HF$ 平分 $\angle EHG$;③$EG = \frac{1}{2}(BC - AD)$.其中正确结论的序号是____.

答案： ①②

13. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$E$ 为 $BC$ 上一点,$CE = 5$,$F$ 为 $DE$ 的中点.若 $\triangle CEF$ 的周长为 18,则 $OF$ 的长为____.

答案： $\frac{7}{2}$

14. (每小题 6 分,共 12 分)
(1) 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,以点 $A$ 为圆心,$DA$ 的长为半径画弧,交 $BA$ 于点 $F$,作 $\angle DAB$ 的平分线,交 $CD$ 于点 $E$,连接 $EF$.求证:四边形 $AFED$ 是菱形.

(2) 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$\angle AOD = 120^{\circ}$,$BD = 6$,求矩形 $ABCD$ 的面积.

答案：
(1)【证明】
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∴$\angle DEA=\angle FAE$。
∵$AE$ 平分 $\angle BAD$，
∴$\angle DAE=\angle FAE$，
∴$\angle DEA=\angle DAE$，
∴$AD = ED$。
∵$AD = AF$，
∴$DE = AF$，
∴四边形 $AFED$ 是平行四边形。
又
∵$AD = ED$，
∴平行四边形 $AFED$ 是菱形。
(2)【解】
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AC = BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OD$。
∵$\angle AOD = 120^{\circ}$，
∴$\angle ADO = 30^{\circ}$，
∴$AB=\frac{1}{2}BD$。
在 $Rt\triangle ABD$ 中，$BD = 6$，由勾股定理，得 $AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$。
∴$S_{矩形ABCD}=AB\cdot AD = 3\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。