《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (每小题7分,共14分)
(1)已知$y= y_1+y_2$,$y_1与(x-1)$成正比例,$y_2与(x+1)$成反比例,当$x= 0$时,$y= -3$,当$x= 1$时,$y= -1$,求$y$的表达式.
(2)如图,在$Rt\triangle AOB$中,$\angle AOB= 90^{\circ}$,$OA= 4$,$OB= 2$,点$B在反比例函数y= \frac{2}{x}$的图象上,求图中过点$A$的双曲线的解析式.

答案：
(1)【解】
∵$y_1$与$(x - 1)$成正比例，$y_2$与$(x + 1)$成反比例，
∴$y_1 = k_1(x - 1)$，$y_2 = \frac{k_2}{x + 1}$。
∵$y = y_1 + y_2$，当$x = 0$时，$y = -3$，当$x = 1$时，$y = -1$，
∴$\begin{cases}-3 = -k_1 + k_2 \\ -1 = \frac{1}{2}k_2\end{cases}$，
∴$k_2 = -2$，$k_1 = 1$，
∴$y = x - 1 - \frac{2}{x + 1}$。
(2)【解】如图，过点$A$作$AC \perp x$轴于点$C$，过点$B$作$BD \perp x$轴于点$D$。
设点$B$的坐标是$(m, n)$，
因为点$B$在函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，所以$mn = 2$。
由题设易得$\triangle ACO \sim \triangle ODB$，则$\frac{AC}{OD} = \frac{OC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{4}{2} = 2$，
则$BD = n$，$OD = m$，则$AC = 2m$，$OC = 2n$。
设过点$A$的双曲线的解析式是$y = \frac{k}{x}$，点$A$的坐标是$(-2n, 2m)$，
把点$A$的坐标代入，得$2m = \frac{k}{-2n}$，则$k = -4mn = -8$，
所以图中过点$A$的双曲线的解析式是$y = -\frac{8}{x}$。