《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

25. (10 分)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2= 0$.
(1)试判断上述方程根的情况.
(2)已知$△ABC$的两边 AB,AC 的长是关于上述方程的两个实数根,BC 的长为 5.
①当 k 为何值时,$△ABC$是以 BC 为斜边的直角三角形?
②当 k 为何值时,$△ABC$是等腰三角形? 请求出此时$△ABC$的周长.

答案： 【解】
(1) $\because$ 在方程 $x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$ 中，
$\Delta = b^{2}-4ac=[-(2k + 3)]^{2}-4(k^{2}+3k + 2)=1＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) $\because x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2=(x - k - 1)(x - k - 2)=0$，
$\therefore x_{1}=k + 1,x_{2}=k + 2$。
①不妨设 $AB = k + 1,AC = k + 2$，
$\therefore$ 斜边 $BC = 5$ 时，有 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，即 $(k + 1)^{2}+(k + 2)^{2}=25$，
解得 $k_{1}=2,k_{2}=-5$（舍去）。
$\therefore$ 当 $k = 2$ 时，$\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形。
②$\because AB = k + 1,AC = k + 2,BC = 5$，由
(1) 知 $AB\neq AC$，
故有两种情况：
(Ⅰ) 当 $AC = BC = 5$ 时，$k + 2 = 5,\therefore k = 3,AB = 3 + 1 = 4$，
$\because 4,5,5$ 满足任意两边之和大于第三边，$\therefore$ 此时 $\triangle ABC$ 的周长为 $4 + 5 + 5 = 14$。
(Ⅱ) 当 $AB = BC = 5$ 时，$k + 1 = 5,\therefore k = 4,AC = k + 2 = 6$，
$\because 6,5,5$ 满足任意两边之和大于第三边，$\therefore$ 此时 $\triangle ABC$ 的周长为 $6 + 5 + 5 = 16$。
综上可知，当 $k = 3$ 时，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，此时 $\triangle ABC$ 的周长为 14；当 $k = 4$ 时，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，此时 $\triangle ABC$ 的周长为 16。