《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (8 分)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle B = 60^{\circ}$,点 $E$,$F$ 分别在 $AB$,$AD$ 上运动,且 $BE = AF$.
(1) 求证:$\angle BEC = \angle AFC$;
(2) 判断 $\triangle ECF$ 是什么特殊的三角形,并证明.

答案：

(1)【证明】如图，连接 $AC$。

∵四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle B = 60^{\circ}$，
∴$AB = BC = CD = AD$，$\angle D=\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 都是等边三角形，
∴$\angle B=\angle CAD=\angle ACB = 60^{\circ}$，$BC = AC$。
在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle ACF$ 中，$\begin{cases}BC = AC,\\\angle B=\angle CAF,\\BE = AF,\end{cases}$
∴$\triangle BCE\cong\triangle ACF(SAS)$，
∴$\angle BEC=\angle AFC$。
(2)【解】$\triangle ECF$ 是等边三角形。证明如下：
由
(1)可知，$\triangle BCE\cong\triangle ACF$，
∴$CE = CF$，$\angle BCE=\angle ACF$。
∵$\angle BCE+\angle ACE=\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴$\angle ECF=\angle ACF+\angle ACE = 60^{\circ}$。
∵$CE = CF$，$\angle ECF = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ECF$ 是等边三角形。