《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

16. (8 分)如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$BE // AC$,$AE // BD$,$OE$ 与 $AB$ 交于点 $F$,$OE = 5$,$AC = 8$.
(1) 求 $AB$ 的长;
(2) 求菱形 $ABCD$ 的高.

答案：
【解】
(1)
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AC\perp BD$，
∴$\angle AOB = 90^{\circ}$。
∵$BE// AC$，$AE// BD$，
∴四边形 $AOBE$ 是平行四边形。
又
∵$\angle AOB = 90^{\circ}$，
∴平行四边形 $AOBE$ 是矩形，
∴$AB = OE$。
∵$OE = 5$，
∴$AB = 5$。
(2)如图，过点 $B$ 作 $BM\perp AD$ 于点 $M$。

∵四边形 $ABCD$ 是菱形，$AB = 5$，
∴$AO = OC$，$BO=DO$，$AD = AB = 5$。
∵$AC = 8$，
∴$AO = 4$。
∵$AB = 5$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，
∴$DO = BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴$BD = 6$。
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD = AD\cdot BM$，
∴$\frac{1}{2}\times8\times6 = 5\times BM$，
∴$BM=\frac{24}{5}$，即菱形 $ABCD$ 的高是 $\frac{24}{5}$。

17. (10 分)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // DC$,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,$AC = 2AO$,且 $AC$ 平分 $\angle BAD$,过点 $C$ 作 $CE \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证:四边形 $ABCD$ 是菱形;
(2) 若 $AB = \sqrt{5}$,$BD = 2$,求 $\triangle ACE$ 的面积.

答案：
(1)【证明】
∵$AB// DC$，
∴$\angle BAC=\angle DCA$。
∵$AC = 2AO$，
∴$OA = OC$。
∵$\angle AOB=\angle COD$，
∴$\triangle AOB\cong\triangle COD(ASA)$，
∴$BO = DO$。
又
∵$OA = OC$，
∴四边形 $ABCD$ 为平行四边形。
又
∵$AC$ 平分 $\angle BAD$，
∴$\angle BAC=\angle DAC$，
∴$\angle DCA=\angle DAC$，
∴$DA = DC$，
∴四边形 $ABCD$ 是菱形。
(2)【解】
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，$BD = 2$，
∴$AC\perp BD$，$BO=\frac{1}{2}BD = 1$。
∵$AB=\sqrt{5}$，
∴$AO=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}} = 2$，
∴$AC=2OA = 4$，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\sqrt{5}\cdot CE = 4$，
∴$CE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$BE=\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$AE=\sqrt{5}+\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴$S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AE\cdot CE=\frac{1}{2}\times\frac{8\sqrt{5}}{5}\times\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{16}{5}$。