《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

20. 已知 $ abc \neq 0 $,且 $ \frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = k $,则 $ k $ 的值为 ______.

答案： 2或$-1$

21. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中, $ AB = 10 $, $ BC = 12 $, $ E $, $ F $ 分别为边 $ AB $, $ AD $ 的中点,连接 $ CE $, $ BF $,交于点 $ H $,则 $ EH $ 的长为 ______.

答案： $\frac{13}{5}$

22. 定义: 点 $ P $ 与图形 $ W $ 上各点连接的所有线段中,若线段 $ PA $ 最短,则线段 $ PA $ 的长度称为点 $ P $ 到图形 $ W $ 的距离,记为 $ d(P, W) $. 例如,在图 1 中,原点 $ O(0,0) $ 与直线 $ l:x = 3 $ 的各点连接的所有线段中,线段 $ OA $ 最短,长度为 $ 3 $,则 $ d(O, x = 3) = 3 $. 特别地,点 $ P $ 在图形 $ W $ 上,则点 $ P $ 到图形的距离为 $ 0 $,即 $ d(P, W) = 0 $.
① 在平面直角坐标系中,原点 $ O(0,0) $ 与直线 $ l:y = x $ 的距离 $ d(O, y = x) = $ ____;
② 如图 2,点 $ P $ 的坐标为 $ (0, m) $ 且 $ d(P, y = 2x - 2) = \sqrt{5} $,则 $ m = $ ______.

答案： 0 3或$-7$

23. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中, $ AB = 3 $, $ BC = 4 $, $ P $ 为边 $ CD $ 上一动点,连接 $ AP $ 交对角线 $ BD $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF \perp AP $, $ EF $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $ 交 $ BD $ 于点 $ G $,在点 $ P $ 的运动过程中, $ \triangle AEG $ 面积的最小值为 ______.

答案： $\frac{48}{25}$

24. (8 分) 已知在四边形 $ ABCD $ 中, $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ AD $ 边上的点, $ DE $ 与 $ CF $ 交于点 $ G $.
(1) 如图 1,若四边形 $ ABCD $ 是矩形,且 $ DE \perp CF $,求证: $ \frac{DE}{CF} = \frac{AD}{DC} $.
(2) 如图 2,若四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,当 $ \angle B = \angle EGF $ 时,第(1)问的结论是否仍成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)【证明】
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ADC = ∠A = 90^{\circ}$，
∴$∠ADE + ∠GDC = 90^{\circ}$。
∵$DE⊥CF$，
∴$∠DCF + ∠GDC = 90^{\circ}$，
∴$∠ADE = ∠DCF$，
∴$△ADE\backsim △DCF$，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{DC}$。
(2)【解】第
(1)问的结论仍成立。
证明：如图，以点$C$为圆心，$CF$的长为半径画弧交$AD$延长线于点$M$，连接$CM$，

∴$CM = CF$，
∴$∠CMD = ∠CFD$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$，
∴$∠B + ∠A = 180^{\circ}$。
∵$∠B = ∠EGF$，
∴$∠A + ∠EGF = 180^{\circ}$，
∴$∠AEG + ∠AFG = 180^{\circ}$。
∵$∠DFG + ∠AFG = 180^{\circ}$，
∴$∠AEG = ∠DFG$，
∴$∠AED = ∠CMD$。
∵$AB// CD$，
∴$∠A = ∠CDM$，
∴$△ADE\backsim △DCM$，
∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{DC}$，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{DC}$。