《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

26. (12分)如图,在平面直角坐标系中,直线$y= \frac{3}{2}x与双曲线y= \frac{k}{x}(k\gt0)交于点A(a,3)和B$.在双曲线上有一点$P$(点$P在直线AB$的下方),连接$PA并延长交y轴于点C$,连接$BP交x轴于点Q$.

(1)求点$A的坐标和k$的值;
(2)若$AP= AC$,连接$BC$,求$\triangle PBC$的面积;
(3)若$\triangle BOQ的面积与四边形AOQP的面积比为2:3$,求点$P$的坐标.

答案： 【解】
(1)
∵直线$y = \frac{3}{2}x$过点$A(a, 3)$，
∴$3 = \frac{3}{2}a$，解得$a = 2$，
∴$A(2, 3)$。
∵点$A(2, 3)$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，
∴$k = xy = 6$。
(2)
∵$AP = AC$，
∴$A$为$PC$的中点。
∵$x_C = 0$，$x_A = 2$，$x_A = \frac{x_C + x_P}{2}$，
∴$x_P = 4$。
当$x_P = 4$时，$y_P = \frac{3}{2}$，
∴$P(4, \frac{3}{2})$。
∵$y_A = 3$，$y_P = \frac{3}{2}$，$y_A = \frac{y_C + y_P}{2}$，
∴$y_C = \frac{9}{2}$，
∴$C(0, \frac{9}{2})$。
∵直线$y = \frac{3}{2}x$与双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$交于点$A(2, 3)$，
∴点$A(2, 3)$关于原点的对称点为$B(-2, -3)$。
设直线$PB$的解析式为$y = k_1x + b_1$，直线$PB$交$y$轴于点$G$。
∵$B(-2, -3)$，$P(4, \frac{3}{2})$在直线$PB$上，
∴$\begin{cases}-2k_1 + b_1 = -3 \\ 4k_1 + b_1 = \frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1 = \frac{3}{4} \\ b_1 = -\frac{3}{2}\end{cases}$，
∴直线$PB$的解析式为$y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$。
令$x = 0$，则$y = -\frac{3}{2}$，
∴$G(0, -\frac{3}{2})$，
∴$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot CG \cdot (x_P - x_B) = \frac{1}{2} \cdot (y_C - y_G) \cdot (x_P - x_B) = \frac{1}{2} \times (\frac{9}{2} + \frac{3}{2}) \times (4 + 2) = 18$。
(3)如图，分别过点$A$，$P$作$x$轴的垂线，过点$B$作$y$轴的垂线，与前面两垂线交于点$D$，$E$。
设点$P(m, \frac{6}{m})$，直线$BP$的解析式为$y = k_2x + b_2$，
则有$\begin{cases}-2k_2 + b_2 = -3 \\ mk_2 + b_2 = \frac{6}{m}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = \frac{3}{m} \\ b_2 = \frac{6 - 3m}{m}\end{cases}$，
∴直线$BP$的解析式为$y = \frac{3}{m}x + \frac{6 - 3m}{m}$。
令$y = 0$，则$x = m - 2$，
∴点$Q(m - 2, 0)$，
∴$S_{\triangle BQQ} = \frac{1}{2}OQ \cdot |y_B| = \frac{1}{2}(m - 2) \cdot 3 = \frac{3m}{2} - 3$。
由图可知，$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{6}{m} + 3 + 6)(m - 2) - \frac{1}{2}(m + 2) \cdot (\frac{6}{m} + 3) = 3m - \frac{12}{m}$。
∵$\frac{S_{\triangle BQQ}}{S_{\triangle ABP}} = \frac{2}{5}$，
∴$S_{\triangle ABP} = \frac{5}{2}S_{\triangle BQQ}$，
∴$3m - \frac{12}{m} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{2}m - 3)$，解得$m = 8$或$m = 2$（舍），
∴点$P$的坐标为$(8, \frac{3}{4})$。