《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

16. (6 分)已知关于$ x 的一元二次方程 x^{2}+3x + k - 2 = 0 $有实数根.
(1)求实数$ k $的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为$ x_{1},x_{2} $,若$ (x_{1}+1)(x_{2}+1)= -1 $,求$ k $的值.

答案： 【解】
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k - 2 = 0$有实数根，
$\therefore \Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (k - 2) \geq 0$，解得 $ k \leq \frac{17}{4} $，即$k$的取值范围是 $ k \leq \frac{17}{4} $。
(2)$\because$方程$x^2 + 3x + k - 2 = 0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，
$\therefore x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k - 2$。
$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = -1$，$\therefore x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = -1$，
$\therefore k - 2 + (-3) + 1 = -1$，解得 $ k = 3 $，即$k$的值是3。

17. (8 分)已知关于$ x 的一元二次方程 x^{2}-(k + 4)x + 2k + 4 = 0 $.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于 1,求$ k $的取值范围.

答案：
(1)【证明】$\because$在方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$中，
$\Delta = [-(k + 4)]^2 - 4 \times 1 \times (2k + 4) = k^2 \geq 0$，
$\therefore$方程总有两个实数根。
(2)【解】$\because x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = (x - 2)(x - k - 2) = 0$，$\therefore x_1 = 2$，$x_2 = k + 2$。
$\because$方程有一根小于1，$\therefore k + 2 ＜ 1$，解得 $ k ＜ -1 $，
$\therefore k$的取值范围为 $ k ＜ -1 $。